Giúp mình với!

Để tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x, y)$ thỏa mãn phương trình $x^3 + y^3 = x^2 + 42xy + y^2$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét phương trình $x^3 + y^3 = x^2 + 42xy + y^2$. Ta thấy rằng nếu $x = y$, phương trình trở thành: \[ x^3 + x^3 = x^2 + 42x^2 + x^2 \] \[ 2x^3 = 44x^2 \] \[ x^3 = 22x^2 \] \[ x = 22 \] Do đó, ta có cặp số $(22, 22)$. Bước 2: Giả sử $x \neq y$. Ta sẽ xét trường hợp $x > y$ và $y > x$. - Trường hợp $x > y$: Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng: \[ x^3 - x^2 = y^2 + 42xy - y^3 \] \[ x^2(x - 1) = y^2 + 42xy - y^3 \] Ta thấy rằng vế trái là một số lớn hơn vế phải khi $x$ lớn hơn $y$ đáng kể. Do đó, ta cần kiểm tra các giá trị nhỏ hơn để tìm các cặp số nguyên dương khác. - Trường hợp $y > x$: Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng: \[ y^3 - y^2 = x^2 + 42xy - x^3 \] \[ y^2(y - 1) = x^2 + 42xy - x^3 \] Tương tự như trên, ta thấy rằng vế trái là một số lớn hơn vế phải khi $y$ lớn hơn $x$ đáng kể. Do đó, ta cần kiểm tra các giá trị nhỏ hơn để tìm các cặp số nguyên dương khác. Bước 3: Kiểm tra các giá trị nhỏ hơn để tìm các cặp số nguyên dương khác. - Kiểm tra $x = 1$: \[ 1^3 + y^3 = 1^2 + 42 \cdot 1 \cdot y + y^2 \] \[ 1 + y^3 = 1 + 42y + y^2 \] \[ y^3 = 42y + y^2 \] \[ y^3 - y^2 - 42y = 0 \] \[ y(y^2 - y - 42) = 0 \] \[ y(y - 7)(y + 6) = 0 \] Do đó, ta có các giá trị $y = 0$, $y = 7$, $y = -6$. Vì $y$ là số nguyên dương, ta chỉ lấy $y = 7$. Vậy ta có cặp số $(1, 7)$. - Kiểm tra $y = 1$: \[ x^3 + 1^3 = x^2 + 42x \cdot 1 + 1^2 \] \[ x^3 + 1 = x^2 + 42x + 1 \] \[ x^3 = x^2 + 42x \] \[ x^3 - x^2 - 42x = 0 \] \[ x(x^2 - x - 42) = 0 \] \[ x(x - 7)(x + 6) = 0 \] Do đó, ta có các giá trị $x = 0$, $x = 7$, $x = -6$. Vì $x$ là số nguyên dương, ta chỉ lấy $x = 7$. Vậy ta có cặp số $(7, 1)$. Bước 4: Kết luận Các cặp số nguyên dương $(x, y)$ thỏa mãn phương trình $x^3 + y^3 = x^2 + 42xy + y^2$ là: \[ (22, 22), (1, 7), (7, 1) \] Đáp số: $(22, 22)$, $(1, 7)$, $(7, 1)$.