giá tri của biểu thức A=căn 6-4 căn2 +căn 19-6 căn2

Để tìm giá trị của biểu thức \( A = \sqrt{6 - 4\sqrt{2}} + \sqrt{19 - 6\sqrt{2}} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các căn thức có thể viết dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai căn bậc hai. - Ta nhận thấy rằng \( 6 - 4\sqrt{2} \) và \( 19 - 6\sqrt{2} \) có thể được viết dưới dạng \( (a - b)^2 \) hoặc \( (a + b)^2 \). Bước 2: Tìm \( a \) và \( b \) sao cho \( 6 - 4\sqrt{2} = (a - b)^2 \) và \( 19 - 6\sqrt{2} = (c - d)^2 \). - Đầu tiên, ta xét \( 6 - 4\sqrt{2} \): Giả sử \( 6 - 4\sqrt{2} = (a - b)^2 \), ta có: \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] So sánh với \( 6 - 4\sqrt{2} \), ta có: \[ a^2 + b^2 = 6 \quad \text{và} \quad -2ab = -4\sqrt{2} \] Từ đây, ta có: \[ ab = 2\sqrt{2} \] Ta thử các giá trị \( a \) và \( b \) sao cho \( a^2 + b^2 = 6 \) và \( ab = 2\sqrt{2} \). Ta thấy rằng \( a = 2 \) và \( b = \sqrt{2} \) thỏa mãn: \[ 2^2 + (\sqrt{2})^2 = 4 + 2 = 6 \quad \text{và} \quad 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] Vậy: \[ 6 - 4\sqrt{2} = (2 - \sqrt{2})^2 \] - Tiếp theo, ta xét \( 19 - 6\sqrt{2} \): Giả sử \( 19 - 6\sqrt{2} = (c - d)^2 \), ta có: \[ (c - d)^2 = c^2 - 2cd + d^2 \] So sánh với \( 19 - 6\sqrt{2} \), ta có: \[ c^2 + d^2 = 19 \quad \text{và} \quad -2cd = -6\sqrt{2} \] Từ đây, ta có: \[ cd = 3\sqrt{2} \] Ta thử các giá trị \( c \) và \( d \) sao cho \( c^2 + d^2 = 19 \) và \( cd = 3\sqrt{2} \). Ta thấy rằng \( c = 3 \) và \( d = \sqrt{2} \) thỏa mãn: \[ 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11 \quad \text{và} \quad 3 \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \] Vậy: \[ 19 - 6\sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2 \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} \] Bước 4: Tính giá trị của các căn bậc hai: \[ A = |2 - \sqrt{2}| + |3 - \sqrt{2}| \] Vì \( 2 - \sqrt{2} > 0 \) và \( 3 - \sqrt{2} > 0 \), ta có: \[ A = (2 - \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 2 - \sqrt{2} + 3 - \sqrt{2} = 5 - 2\sqrt{2} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ A = 5 - 2\sqrt{2} \]