Giúp mình với!

Câu I 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. - Tìm tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ - Tìm giới hạn: \[ \lim_{x \to -1^-} y = -\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} y = +\infty, \quad \lim_{x \to \pm\infty} y = 1 \] - Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{(x+1) - (x+3)}{(x+1)^2} = \frac{-2}{(x+1)^2} \] - Tìm cực trị: \[ y' = 0 \Rightarrow \text{Không có nghiệm} \Rightarrow \text{không có cực trị} \] - Tìm giao điểm với trục tọa độ: \[ y = 0 \Rightarrow x = -3, \quad x = 0 \Rightarrow y = 3 \] 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$. - Tính giá trị hàm số tại $x_0$: \[ y(-2) = \frac{-2 + 3}{-2 + 1} = -1 \] - Tính đạo hàm tại $x_0$: \[ y'(-2) = \frac{-2}{(-2+1)^2} = -2 \] - Phương trình tiếp tuyến: \[ y + 1 = -2(x + 2) \Rightarrow y = -2x - 5 \] 3. Chứng minh đường thẳng $y = x + m$ (với m là tham số) luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất. - Xét phương trình hoán vị: \[ \frac{x+3}{x+1} = x + m \Rightarrow x + 3 = (x + m)(x + 1) \] \[ x + 3 = x^2 + (m+1)x + m \Rightarrow x^2 + mx + m - 3 = 0 \] - Để luôn có hai nghiệm phân biệt: \[ \Delta = m^2 - 4(m - 3) > 0 \Rightarrow m^2 - 4m + 12 > 0 \Rightarrow (m - 2)^2 + 8 > 0 \Rightarrow \text{luôn đúng} \] - Tìm m để đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất: \[ d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + ((x_1 + m) - (x_2 + m))^2} = \sqrt{2(x_1 - x_2)^2} \] \[ x_1 + x_2 = -m, \quad x_1 x_2 = m - 3 \] \[ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = m^2 - 4(m - 3) = m^2 - 4m + 12 \] \[ d = \sqrt{2(m^2 - 4m + 12)} \] \[ f(m) = m^2 - 4m + 12 \Rightarrow f'(m) = 2m - 4 = 0 \Rightarrow m = 2 \] \[ f''(m) = 2 > 0 \Rightarrow m = 2 \text{ là điểm cực tiểu} \] \[ \Rightarrow m = 2 \text{ để đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất} \] Câu II 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=x+\sqrt{2-x^2}$ Điều kiện xác định: $2 - x^2 \geq 0 \Rightarrow -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$ Ta xét đạo hàm của hàm số: $f'(x) = 1 + \frac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}} = 1 - \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$ Để tìm cực trị, ta giải phương trình $f'(x) = 0$: $1 - \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} = 0$ $\frac{x}{\sqrt{2-x^2}} = 1$ $x = \sqrt{2-x^2}$ $x^2 = 2 - x^2$ $2x^2 = 2$ $x^2 = 1$ $x = 1$ hoặc $x = -1$ Kiểm tra các điểm biên và các điểm cực trị: - $f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + \sqrt{2 - (-\sqrt{2})^2} = -\sqrt{2} + 0 = -\sqrt{2}$ - $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$ - $f(1) = 1 + \sqrt{2 - 1^2} = 1 + 1 = 2$ - $f(-1) = -1 + \sqrt{2 - (-1)^2} = -1 + 1 = 0$ Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi $x = 1$. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}$, đạt được khi $x = -\sqrt{2}$. 2. Tính tích phân: $I=\int^2_1x(3x-2)dx$ Ta mở ngoặc và tính tích phân từng phần: $I = \int^2_1 (3x^2 - 2x) dx$ $I = \int^2_1 3x^2 dx - \int^2_1 2x dx$ $I = 3 \int^2_1 x^2 dx - 2 \int^2_1 x dx$ Tính từng tích phân riêng lẻ: $\int^2_1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]^2_1 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ $\int^2_1 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]^2_1 = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ Vậy: $I = 3 \cdot \frac{7}{3} - 2 \cdot \frac{3}{2} = 7 - 3 = 4$ Đáp số: 1. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi $x = 1$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}$, đạt được khi $x = -\sqrt{2}$. 2. $I = 4$ Câu III 1. Tính thể tích khối chóp S.ABC Ta có: \(SA \perp (ABC)\) Diện tích đáy: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot \frac{AB}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{2} = 2\] Chiều cao: \[SA = \sqrt{SB^2 - AB^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (2)^2} = \sqrt{12 - 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] Thể tích: \[V_{S.ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\] 2. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Trong tam giác vuông cân ABC, ta có: \[AB = BC = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\] Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của AC, gọi là O. \[AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\] Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm của SO, gọi là I. \[SO = \sqrt{SA^2 + AO^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}\] Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: \[R = \frac{SO}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}\] Đáp số: 1. Thể tích khối chóp S.ABC là \(\frac{4\sqrt{2}}{3}\) 2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của SO, bán kính là \(\frac{\sqrt{10}}{2}\) Câu IV 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương pháp vuông góc là $\vec{n} = (2, 2, -1)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1, 2, -3)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec{n} = (2, 2, -1)$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 2t \\ z = -3 - t \end{cases} \] 2. Viết phương trình mặt phẳng ($\beta$) đi qua M và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ Mặt phẳng ($\beta$) song song với mặt phẳng $(\alpha)$ nên có cùng phương pháp vuông góc $\vec{n} = (2, 2, -1)$. Mặt phẳng ($\beta$) đi qua điểm $M(1, 2, -3)$. Phương trình mặt phẳng ($\beta$): \[ 2(x - 1) + 2(y - 2) - (z + 3) = 0 \] \[ 2x - 2 + 2y - 4 - z - 3 = 0 \] \[ 2x + 2y - z - 9 = 0 \] 3. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha)$ Mặt cầu (S) có tâm $M(1, 2, -3)$ và bán kính $R$ bằng khoảng cách từ tâm $M$ đến mặt phẳng $(\alpha)$. Khoảng cách từ điểm $M(1, 2, -3)$ đến mặt phẳng $(\alpha)$: \[ d = \frac{|2(1) + 2(2) - (-3) + 3|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 4 + 3 + 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{12}{3} = 4 \] Vậy bán kính $R = 4$. Phương trình mặt cầu (S): \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 16 \] Đáp số: 1. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 2t \\ z = -3 - t \end{cases} \] 2. Phương trình mặt phẳng ($\beta$): \[ 2x + 2y - z - 9 = 0 \] 3. Phương trình mặt cầu (S): \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 16 \] Câu V 1. Giải phương trình: $\ln x + \ln(x + 1) = 0$ Điều kiện xác định: $x > 0$ Áp dụng công thức $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$, ta có: $\ln(x(x + 1)) = 0$ Suy ra: $x(x + 1) = e^0 = 1$ $x^2 + x - 1 = 0$ Giải phương trình bậc hai này: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ Do $x > 0$, ta loại nghiệm âm: $x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. 2. Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là: $a = 15500(5 - \log p)$, trong đó a là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và p là áp suất không khí (tính bằng pascal (Pa)). Tính áp suất không khí ở đỉnh Phanxipăng có độ cao 3143m so với mực nước biển. Thay $a = 3143$ vào công thức: $3143 = 15500(5 - \log p)$ Chia cả hai vế cho 15500: $\frac{3143}{15500} = 5 - \log p$ Tính giá trị: $0.203 = 5 - \log p$ Di chuyển 5 sang vế trái: $\log p = 5 - 0.203 = 4.797$ Lấy antilogarit để tìm p: $p = 10^{4.797} \approx 62000 \text{ Pa}$ Vậy áp suất không khí ở đỉnh Phanxipăng là khoảng 62000 Pa.