lam 3 bai nay giup minh voi 13. Tính $A=(1+\frac1{1.3})(1+\frac1{2.4})(1+\frac1{3.5})...(1+\frac1{98.100}).$,14. Tính $B=(1+\frac2{1.4})(1+\frac2{2.5})(1+\frac2{3.6})...(1+\frac2{97.100}).$,15. Tính $C=(1-\frac2{2.4})(1-\frac2{3.5})(1-\frac2{4.6})...(1-\frac2{98.100}).$

Question

Accepted Answer

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phân tích và biến đổi biểu thức để dễ dàng tính toán hơn.

Bài 13: Tính $ A = \left(1 + \frac{1}{1 \cdot 3}\right)\left(1 + \frac{1}{2 \cdot 4}\right)\left(1 + \frac{1}{3 \cdot 5}\right) \cdots \left(1 + \frac{1}{98 \cdot 100}\right) $

Ta có:
$$ A = \left(1 + \frac{1}{1 \cdot 3}\right)\left(1 + \frac{1}{2 \cdot 4}\right)\left(1 + \frac{1}{3 \cdot 5}\right) \cdots \left(1 + \frac{1}{98 \cdot 100}\right) $$

Nhận thấy rằng:
$$ 1 + \frac{1}{n(n+2)} = \frac{n(n+2) + 1}{n(n+2)} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n(n+2)} = \frac{(n+1)^2}{n(n+2)} $$

Do đó:
$$ A = \frac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{3^2}{2 \cdot 4} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 5} \cdots \frac{99^2}{98 \cdot 100} $$

Khi nhân các phân số này lại với nhau, ta nhận thấy rằng các thừa số ở tử số và mẫu số sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
$$ A = \frac{2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdots 99^2}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 98 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 100} = \frac{2 \cdot 99}{1 \cdot 100} = \frac{198}{100} = \frac{99}{50} $$

Vậy:
$$ A = \frac{99}{50} $$

Bài 14: Tính $ B = \left(1 + \frac{2}{1 \cdot 4}\right)\left(1 + \frac{2}{2 \cdot 5}\right)\left(1 + \frac{2}{3 \cdot 6}\right) \cdots \left(1 + \frac{2}{97 \cdot 100}\right) $

Ta có:
$$ B = \left(1 + \frac{2}{1 \cdot 4}\right)\left(1 + \frac{2}{2 \cdot 5}\right)\left(1 + \frac{2}{3 \cdot 6}\right) \cdots \left(1 + \frac{2}{97 \cdot 100}\right) $$

Nhận thấy rằng:
$$ 1 + \frac{2}{n(n+3)} = \frac{n(n+3) + 2}{n(n+3)} = \frac{n^2 + 3n + 2}{n(n+3)} = \frac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} $$

Do đó:
$$ B = \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 4} \cdot \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 5} \cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 6} \cdots \frac{98 \cdot 99}{97 \cdot 100} $$

Khi nhân các phân số này lại với nhau, ta nhận thấy rằng các thừa số ở tử số và mẫu số sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
$$ B = \frac{2 \cdot 99}{1 \cdot 100} = \frac{198}{100} = \frac{99}{50} $$

Vậy:
$$ B = \frac{99}{50} $$

Bài 15: Tính $ C = \left(1 - \frac{2}{2 \cdot 4}\right)\left(1 - \frac{2}{3 \cdot 5}\right)\left(1 - \frac{2}{4 \cdot 6}\right) \cdots \left(1 - \frac{2}{98 \cdot 100}\right) $

Ta có:
$$ C = \left(1 - \frac{2}{2 \cdot 4}\right)\left(1 - \frac{2}{3 \cdot 5}\right)\left(1 - \frac{2}{4 \cdot 6}\right) \cdots \left(1 - \frac{2}{98 \cdot 100}\right) $$

Nhận thấy rằng:
$$ 1 - \frac{2}{n(n+2)} = \frac{n(n+2) - 2}{n(n+2)} = \frac{n^2 + 2n - 2}{n(n+2)} = \frac{(n-1)(n+2)}{n(n+2)} = \frac{n-1}{n} $$

Do đó:
$$ C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{97}{98} $$

Khi nhân các phân số này lại với nhau, ta nhận thấy rằng các thừa số ở tử số và mẫu số sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
$$ C = \frac{1}{98} $$

Vậy:
$$ C = \frac{1}{98} $$

Đáp số:
1. $ A = \frac{99}{50} $
2. $ B = \frac{99}{50} $
3. $ C = \frac{1}{98} $