B= 1 + 1/2( 1 + 2 ) + 1/3( 1 + 2 + 3 ) +.....+ 1/x ( 1 + 2 + 3 +....+ x ) Tính số nguyên dương x để B bằng 115

Để tính số nguyên dương \( x \) sao cho \( B = 115 \), ta sẽ phân tích biểu thức \( B \) và tìm giá trị của \( x \). Biểu thức \( B \) được viết dưới dạng: \[ B = 1 + \frac{1}{2}(1 + 2) + \frac{1}{3}(1 + 2 + 3) + \ldots + \frac{1}{x}(1 + 2 + 3 + \ldots + x) \] Ta biết rằng tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến \( n \) là: \[ 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \] Áp dụng vào biểu thức \( B \): \[ B = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 4}{2} + \ldots + \frac{1}{x} \cdot \frac{x(x+1)}{2} \] Rút gọn từng hạng tử: \[ B = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 4}{2} + \ldots + \frac{1}{x} \cdot \frac{x(x+1)}{2} \] \[ B = 1 + \frac{3}{2} + \frac{4}{2} + \ldots + \frac{x+1}{2} \] Nhóm lại các phân số: \[ B = 1 + \frac{3 + 4 + \ldots + (x+1)}{2} \] Tổng của các số từ 3 đến \( x+1 \) là: \[ 3 + 4 + \ldots + (x+1) = \frac{(x+1)(x+2)}{2} - 3 \] Do đó: \[ B = 1 + \frac{\frac{(x+1)(x+2)}{2} - 3}{2} \] \[ B = 1 + \frac{(x+1)(x+2) - 6}{4} \] \[ B = 1 + \frac{x^2 + 3x + 2 - 6}{4} \] \[ B = 1 + \frac{x^2 + 3x - 4}{4} \] \[ B = 1 + \frac{x^2 + 3x - 4}{4} \] \[ B = \frac{4 + x^2 + 3x - 4}{4} \] \[ B = \frac{x^2 + 3x}{4} \] Ta cần \( B = 115 \): \[ \frac{x^2 + 3x}{4} = 115 \] \[ x^2 + 3x = 460 \] \[ x^2 + 3x - 460 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 1840}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{1849}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm 43}{2} \] Lấy nghiệm dương: \[ x = \frac{40}{2} = 20 \] Vậy số nguyên dương \( x \) để \( B = 115 \) là \( x = 20 \).