lam giup minh cac bai toan nay nhe

Bài 23. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và biến đổi biểu thức để tìm giá trị của \( x \). Bước 1: Xác định quy luật của dãy số. Ta thấy rằng các phân số trong dãy có dạng $\frac{1}{n(n+3)}$. Chúng ta sẽ tìm cách biến đổi mỗi phân số thành một dạng dễ tính hơn. Bước 2: Biến đổi mỗi phân số. Ta có: \[ \frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) \] Áp dụng vào bài toán: \[ \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 14} + ... + \frac{1}{x(x+3)} \] Biến đổi từng phân số: \[ = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{11} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{14} \right) + ... + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+3} \right) \] Bước 3: Gộp các phân số lại với nhau. Ta nhận thấy rằng các phân số ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau: \[ = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{x+3} \right) \] Bước 4: Đặt biểu thức trên bằng $\frac{101}{1540}$ và giải phương trình. \[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{x+3} \right) = \frac{101}{1540} \] Nhân cả hai vế với 3: \[ \frac{1}{5} - \frac{1}{x+3} = \frac{303}{1540} \] Chuyển $\frac{1}{5}$ sang vế phải: \[ - \frac{1}{x+3} = \frac{303}{1540} - \frac{1}{5} \] Quy đồng mẫu số: \[ - \frac{1}{x+3} = \frac{303}{1540} - \frac{308}{1540} = -\frac{5}{1540} = -\frac{1}{308} \] Do đó: \[ \frac{1}{x+3} = \frac{1}{308} \] Suy ra: \[ x + 3 = 308 \] Vậy: \[ x = 308 - 3 = 305 \] Đáp số: \( x = 305 \). Bài 24. Ta thấy rằng: $\frac{1}{1.101}+\frac{1}{2.102}+\frac{1}{3.103}+...+\frac{1}{100.200}=\frac{1}{1.301}+\frac{1}{2.302}+\frac{1}{3.303}+...+\frac{1}{100.400}=Q$ Do đó: $P-Q=\frac{1}{101.201}+\frac{1}{102.202}+\frac{1}{103.203}+...+\frac{1}{300.400}$ $=\frac{1}{101.201}+\frac{1}{102.202}+\frac{1}{103.203}+...+\frac{1}{300.400}$ $=2\times (\frac{1}{101.301}+\frac{1}{102.302}+\frac{1}{103.303}+...+\frac{1}{300.500})$ $=2\times Q$ Từ đó ta có: $P=3\times Q$ Vậy $\frac{P}{Q}=3$ Bài 25. Ta có: $\frac{1}{1\times 3}=\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{3})$ $\frac{1}{3\times 5}=\frac{1}{2}\times (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$ $\frac{1}{5\times 7}=\frac{1}{2}\times (\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$ ... $\frac{1}{(2x-1)\times (2x+1)}=\frac{1}{2}\times (\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2x+1})$ Suy ra: $\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+...+\frac{1}{(2x-1)\times (2x+1)}$ $=\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2x+1})$ $=\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2x+1})$ $=\frac{x}{2x+1}$ Theo đề bài ta có: $\frac{x}{2x+1}=\frac{49}{99}$ Suy ra: $99\times x=49\times (2x+1)$ $x=49$ Bài 26. Ta có: \[ 50 - \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{49} + \frac{1}{50}\right) \] Có thể viết lại thành: \[ = (50 - 1) + \left(\frac{2-1}{2}\right) + \left(\frac{3-1}{3}\right) + ... + \left(\frac{49-1}{49}\right) + \left(\frac{50-1}{50}\right) \] Phân tích tiếp: \[ = 49 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{2}{3}\right) + ... + \left(\frac{48}{49}\right) + \left(\frac{49}{50}\right) \] Như vậy, ta đã chứng minh được: \[ 50 - \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{49} + \frac{1}{50}\right) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + ... + \frac{48}{49} + \frac{49}{50} \] Bài 27. Để tính $\frac{R}{T}$, chúng ta sẽ làm như sau: 1. Xác định R: \[ R = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{300} \] 2. Xác định T: \[ T = \frac{1}{299} + \frac{2}{298} + \frac{3}{297} + ... + \frac{298}{2} + \frac{299}{1} \] 3. Tìm mối liên hệ giữa R và T: Chúng ta nhận thấy rằng mỗi phân số trong R có thể được viết lại dưới dạng một phân số trong T. Cụ thể, nếu ta lấy một phân số từ R và nhân cả tử và mẫu của nó với một số thích hợp, ta sẽ có thể tạo ra một phân số tương ứng trong T. 4. Chứng minh mối liên hệ: Chúng ta sẽ chứng minh rằng mỗi phân số trong R có thể được biến đổi thành một phân số trong T bằng cách nhân cả tử và mẫu của nó với một số thích hợp. - Lấy phân số $\frac{1}{n}$ từ R, nhân cả tử và mẫu của nó với $(300-n)$: \[ \frac{1}{n} = \frac{300-n}{n(300-n)} \] \[ \frac{1}{n} = \frac{300-n}{300n - n^2} \] - Ta thấy rằng phân số này có thể được viết lại dưới dạng một phân số trong T: \[ \frac{300-n}{300n - n^2} = \frac{300-n}{n(300-n)} \] 5. Kết luận: Vì mỗi phân số trong R có thể được biến đổi thành một phân số trong T, nên ta có thể kết luận rằng R và T có mối liên hệ trực tiếp với nhau. Do đó, ta có: \[ \frac{R}{T} = \frac{1}{300} \] Đáp số: $\frac{R}{T} = \frac{1}{300}$ Bài 28. Để tính tổng $S=\frac{1}{1.2.3.4}+\frac{1}{2.3.4.5}+\frac{1}{3.4.5.6}+...+\frac{1}{97.98.99.100}$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và biến đổi từng phân số thành dạng có thể dễ dàng tính toán hơn. Nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng $\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$. Chúng ta sẽ cố gắng biến đổi nó thành dạng có thể dễ dàng tính toán hơn. Ta có: \[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{n(n+1)(n+2)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} \right) \] Bây giờ, ta sẽ áp dụng công thức này cho từng phân số trong tổng $S$: \[ S = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1.2.3} - \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{2.3.4} - \frac{1}{3.4.5} + \frac{1}{3.4.5} - \frac{1}{4.5.6} + ... + \frac{1}{97.98.99} - \frac{1}{98.99.100} \right) \] Nhận thấy rằng các phân số ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại hai phân số đầu và cuối: \[ S = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1.2.3} - \frac{1}{98.99.100} \right) \] Bây giờ, ta tính giá trị của hai phân số này: \[ \frac{1}{1.2.3} = \frac{1}{6} \] \[ \frac{1}{98.99.100} = \frac{1}{970200} \] Do đó: \[ S = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{970200} \right) \] Tính tiếp: \[ \frac{1}{6} - \frac{1}{970200} = \frac{161700 - 1}{970200} = \frac{161699}{970200} \] Vậy: \[ S = \frac{1}{3} \times \frac{161699}{970200} = \frac{161699}{2910600} \] Đáp số: $S = \frac{161699}{2910600}$