cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. a. Chứng minh tam giác ABM=tam giác ACM b. Trên cạnh AM lấy điểm K bất kỳ. Chứng minh KB=KC c. Tia BK cắt cạnh AC tại F, tia CK cắt cạnh AB tại E...

a, Vì $\displaystyle \vartriangle ABC$ cân tại A nên AB=AC
Vì M là trung điểm của BC nên MB=MC
Xét $\displaystyle \vartriangle AMB$ và $\displaystyle \vartriangle AMC$ có:
AB=AC
AM: cạnh chung
MB=MC
Do đó $\displaystyle \vartriangle AMB=\vartriangle AMC$ (c.c.c)
b, Ta có: $\displaystyle \vartriangle AMB=\vartriangle AMC$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AMB} =\widehat{AMC}$
Mà $\displaystyle \widehat{AMB} +\widehat{AMC} =180^{0}$ (kề bù)
Do đó $\displaystyle \widehat{AMB} =\widehat{AMC} =90^{0}$
Xét $\displaystyle \vartriangle MBK$ vuông tại M và $\displaystyle \vartriangle MCK$ vuông tại M có:
MB=MC
MK: cạnh chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle MBK=\vartriangle MCK$ (2 cạnh góc vuông)
$\displaystyle \Longrightarrow BK=CK$ (2 cạnh tương ứng)
c, Ta có: $\displaystyle \vartriangle MBK=\vartriangle MCK\Longrightarrow \widehat{MBK} =\widehat{MCK}$ (2 góc tương ứng)
Vì $\displaystyle \vartriangle ABC$ cân tại A nên $\displaystyle \widehat{ABC} =\widehat{ACB}$
Do đó $\displaystyle \widehat{ABC} -\widehat{MBK} =\widehat{ACB} -\widehat{MCK}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ABF} =\widehat{ACE}$
Xét $\displaystyle \vartriangle ABF$ và $\displaystyle \vartriangle ACK$ có:
AB=AC
$\displaystyle \widehat{BAC} :$góc chung
$\displaystyle \widehat{ABF} =\widehat{ACE}$
Do đó $\displaystyle \vartriangle ABF=\vartriangle ACE$ (g.c.g)
$\displaystyle \Longrightarrow AF=AE$ (2 cạnh tương ứng)
$\displaystyle \Longrightarrow \vartriangle AEF$ cân tại A
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AEF} =\frac{180^{0} -\widehat{BAC}}{2}$
$\displaystyle \vartriangle ABC$ cân tại A $\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ABC} =\frac{180^{0} -\widehat{BAC}}{2}$
Do đó $\displaystyle \widehat{AEF} =\widehat{ABC}$
Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị
Do đó $\displaystyle EF\parallel BC$ (dấu hiệu nhận biết)