giải giúp em với ạ Bài tập 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau, biết:,$a)~y=2^x$ $b)~y=\frac1{3^x}$ $c)~y=(2e^x-5^x)$,$d)~y=\frac1{e^x}$ $e)~y=(2.3^x-\frac13.7^x)$ $f)~y=2^{3x}.3^{2x}$,$g)~y=\frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x}$ $h)~y=\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}$ $i)~y=e^x(2017-\frac{2018e^{-x}}{x^5})$

a) $y = 2^x$Ta biết rằng nguyên hàm của $a^x$ là $\frac{a^x}{\ln a} + C$, với $a > 0$ và $a \ne 1$.Áp dụng công thức trên với $a = 2$, ta có nguyên hàm của $y = 2^x$ là $\frac{2^x}{\ln 2} + C$.Đáp án: $\frac{2^x}{\ln 2} + C$ b) $y = \frac{1}{3^x} = 3^{-x}$Ta viết lại hàm số dưới dạng $3^{-x}$.Áp dụng công thức nguyên hàm của $a^x$, ta có nguyên hàm của $3^{-x}$ là $\frac{3^{-x}}{\ln 3} \cdot (-1) + C = -\frac{3^{-x}}{\ln 3} + C$.Đáp án: $-\frac{3^{-x}}{\ln 3} + C$ c) $y = 2e^x - 5^x$Nguyên hàm của một tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm.Nguyên hàm của $2e^x$ là $2e^x$, và nguyên hàm của $5^x$ là $\frac{5^x}{\ln 5}$.Bước 3: Vậy nguyên hàm của $y$ là $2e^x - \frac{5^x}{\ln 5} + C$.Đáp án: $2e^x - \frac{5^x}{\ln 5} + C$ d) $y = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$Áp dụng công thức nguyên hàm của $e^{ax}$ là $\frac{1}{a}e^{ax} + C$.Với $a = -1$, nguyên hàm của $e^{-x}$ là $-e^{-x} + C$.Đáp án: $-e^{-x} + C$ e) $y = 2 \cdot 3^x - \frac{1}{3} \cdot 7^x$Tương tự câu c), ta tìm nguyên hàm của từng số hạng.Nguyên hàm của $2 \cdot 3^x$ là $\frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3}$, và nguyên hàm của $-\frac{1}{3} \cdot 7^x$ là $-\frac{1}{3} \cdot \frac{7^x}{\ln 7}$.Vậy nguyên hàm của $y$ là $\frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} - \frac{7^x}{3 \ln 7} + C$.Đáp án: $\frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} - \frac{7^x}{3 \ln 7} + C$ f) $y = 2^{3x} \cdot 3^{2x} = (2^3)^x \cdot (3^2)^x = 8^x \cdot 9^x = (8 \cdot 9)^x = 72^x$Ta viết lại hàm số dưới dạng $72^x$.Áp dụng công thức nguyên hàm của $a^x$, ta có nguyên hàm của $72^x$ là $\frac{72^x}{\ln 72} + C$.Đáp án: $\frac{72^x}{\ln 72} + C$ g) $y = \frac{2^{x+1} - 5^{x-2}}{10^x} = \frac{2 \cdot 2^x - \frac{1}{25} \cdot 5^x}{10^x} = 2 \cdot \left(\frac{2}{10}\right)^x - \frac{1}{25} \cdot \left(\frac{5}{10}\right)^x = 2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x - \frac{1}{25} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$Ta phân tích hàm số thành tổng của hai hàm số mũ.Áp dụng công thức nguyên hàm của $a^x$, ta có nguyên hàm của $2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x$ là $\frac{2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x}{\ln \frac{1}{5}}$ và nguyên hàm của $-\frac{1}{25} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$ là $-\frac{1}{25} \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\ln \frac{1}{2}}$.Vậy nguyên hàm của y là $\frac{2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x}{\ln \frac{1}{5}} - \frac{1}{25} \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\ln \frac{1}{2}} + C$.Đáp án: $\frac{2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x}{\ln \frac{1}{5}} - \frac{1}{25} \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\ln \frac{1}{2}} + C$ h) $y = \frac{e^{2x} + 1}{e^x + 1} = \frac{e^{2x} + e^x - e^x + 1}{e^x + 1} = \frac{e^x(e^x + 1) - (e^x + 1) + 2}{e^x + 1} = e^x - 1 + \frac{2}{e^x + 1}$Ta thực hiện phép chia đa thức.Nguyên hàm của $e^x - 1$ là $e^x - x$. Nguyên hàm của $\frac{2}{e^x + 1}$ không có dạng cơ bản.Đáp án: $e^x - x + \int \frac{2}{e^x + 1} dx + C$ i) $y = e^x \left(2025 - \frac{2024e^{-x}}{x^5}\right) = 2025e^x - \frac{2024}{x^5}$Ta phân tích hàm số thành tổng của hai hàm số.Nguyên hàm của $2025e^x$ là $2025e^x$, và nguyên hàm của $-\frac{2024}{x^5}$ là $\frac{2024}{4x^4} = \frac{506}{x^4}$.Vậy nguyên hàm của y là $2025e^x + \frac{506}{x^4} + C$.Đáp án: $2025e^x + \frac{506}{x^4} + C$

giải giúp em với ạ Bài tập 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau 6787d74c036a7243fc8d8aa5

Timi

3 giờ trước

Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo

Bài tập 2: a) $\int y dx = \int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$ b) $\int y dx = \int \frac{1}{3^x} dx = \int 3^{-x} dx = -\frac{3^{-x}}{\ln 3} + C = -\frac{1}{3^x \ln 3} + C$ c) $\int y dx = \int (2e^x - 5^x) dx = 2 \int e^x dx - \int 5^x dx = 2e^x - \frac{5^x}{\ln 5} + C$ d) $\int y dx = \int \frac{1}{e^x} dx = \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$ e) $\int y dx = \int (2 \cdot 3^x - \frac{1}{3} \cdot 7^x) dx = 2 \int 3^x dx - \frac{1}{3} \int 7^x dx = 2 \cdot \frac{3^x}{\ln 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7^x}{\ln 7} + C$ f) $\int y dx = \int 2^{3x} \cdot 3^{2x} dx = \int (2^3)^x \cdot (3^2)^x dx = \int 8^x \cdot 9^x dx = \int (8 \cdot 9)^x dx = \int 72^x dx = \frac{72^x}{\ln 72} + C$ g) $\int y dx = \int \frac{2^{x+1} - 5^{x-1}}{10^x} dx = \int \left(\frac{2^{x+1}}{10^x} - \frac{5^{x-1}}{10^x}\right) dx = \int \left(2 \cdot \left(\frac{2}{10}\right)^x - \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{5}{10}\right)^x\right) dx = \int \left(2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x - \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x\right) dx = 2 \int \left(\frac{1}{5}\right)^x dx - \frac{1}{5} \int \left(\frac{1}{2}\right)^x dx = 2 \cdot \frac{\left(\frac{1}{5}\right)^x}{\ln \left(\frac{1}{5}\right)} - \frac{1}{5} \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\ln \left(\frac{1}{2}\right)} + C = -2 \cdot \frac{5^{-x}}{\ln 5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{2^{-x}}{\ln 2} + C = -\frac{2}{5^x \ln 5} + \frac{1}{5 \cdot 2^x \ln 2} + C$ h) $\int y dx = \int \frac{e^{3x} + 1}{e^x + 1} dx = \int \frac{(e^x)^3 + 1}{e^x + 1} dx = \int \frac{(e^x + 1)(e^{2x} - e^x + 1)}{e^x + 1} dx = \int (e^{2x} - e^x + 1) dx = \int e^{2x} dx - \int e^x dx + \int 1 dx = \frac{e^{2x}}{2} - e^x + x + C$ i) $\int y dx = \int e^x \left(2017 - \frac{2018e^{-x}}{x^5}\right) dx = \int \left(2017e^x - \frac{2018}{x^5}\right) dx = 2017 \int e^x dx - 2018 \int \frac{1}{x^5} dx = 2017e^x - 2018 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C = 2017e^x + \frac{2018}{4x^4} + C = 2017e^x + \frac{1009}{2x^4} + C$ Đáp số: a) $\frac{2^x}{\ln 2} + C$ b) $-\frac{1}{3^x \ln 3} + C$ c) $2e^x - \frac{5^x}{\ln 5} + C$ d) $-e^{-x} + C$ e) $2 \cdot \frac{3^x}{\ln 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7^x}{\ln 7} + C$ f) $\frac{72^x}{\ln 72} + C$ g) $-\frac{2}{5^x \ln 5} + \frac{1}{5 \cdot 2^x \ln 2} + C$ h) $\frac{e^{2x}}{2} - e^x + x + C$ i) $2017e^x + \frac{1009}{2x^4} + C$

0 bình luận

Bình luận

C_H_

1 giờ trước

a) $y = 2^x$

Ta biết rằng nguyên hàm của $a^x$ là $\frac{a^x}{\ln a} + C$, với $a > 0$ và $a \ne 1$.

Áp dụng công thức trên với $a = 2$, ta có nguyên hàm của $y = 2^x$ là $\frac{2^x}{\ln 2} + C$.

Đáp án: $\frac{2^x}{\ln 2} + C$

b) $y = \frac{1}{3^x} = 3^{-x}$

Ta viết lại hàm số dưới dạng $3^{-x}$.

Áp dụng công thức nguyên hàm của $a^x$, ta có nguyên hàm của $3^{-x}$ là $\frac{3^{-x}}{\ln 3} \cdot (-1) + C = -\frac{3^{-x}}{\ln 3} + C$.

Đáp án: $-\frac{3^{-x}}{\ln 3} + C$

c) $y = 2e^x - 5^x$

Nguyên hàm của một tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm.

Nguyên hàm của $2e^x$ là $2e^x$, và nguyên hàm của $5^x$ là $\frac{5^x}{\ln 5}$.

Bước 3: Vậy nguyên hàm của $y$ là $2e^x - \frac{5^x}{\ln 5} + C$.

Đáp án: $2e^x - \frac{5^x}{\ln 5} + C$

d) $y = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$

Áp dụng công thức nguyên hàm của $e^{ax}$ là $\frac{1}{a}e^{ax} + C$.

Với $a = -1$, nguyên hàm của $e^{-x}$ là $-e^{-x} + C$.

Đáp án: $-e^{-x} + C$

e) $y = 2 \cdot 3^x - \frac{1}{3} \cdot 7^x$

Tương tự câu c), ta tìm nguyên hàm của từng số hạng.

Nguyên hàm của $2 \cdot 3^x$ là $\frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3}$, và nguyên hàm của $-\frac{1}{3} \cdot 7^x$ là $-\frac{1}{3} \cdot \frac{7^x}{\ln 7}$.

Vậy nguyên hàm của $y$ là $\frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} - \frac{7^x}{3 \ln 7} + C$.

Đáp án: $\frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} - \frac{7^x}{3 \ln 7} + C$

f) $y = 2^{3x} \cdot 3^{2x} = (2^3)^x \cdot (3^2)^x = 8^x \cdot 9^x = (8 \cdot 9)^x = 72^x$

Ta viết lại hàm số dưới dạng $72^x$.

Áp dụng công thức nguyên hàm của $a^x$, ta có nguyên hàm của $72^x$ là $\frac{72^x}{\ln 72} + C$.

Đáp án: $\frac{72^x}{\ln 72} + C$

g) $y = \frac{2^{x+1} - 5^{x-2}}{10^x} = \frac{2 \cdot 2^x - \frac{1}{25} \cdot 5^x}{10^x} = 2 \cdot \left(\frac{2}{10}\right)^x - \frac{1}{25} \cdot \left(\frac{5}{10}\right)^x = 2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x - \frac{1}{25} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Ta phân tích hàm số thành tổng của hai hàm số mũ.

Áp dụng công thức nguyên hàm của $a^x$, ta có nguyên hàm của $2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x$ là $\frac{2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x}{\ln \frac{1}{5}}$ và nguyên hàm của $-\frac{1}{25} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$ là $-\frac{1}{25} \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\ln \frac{1}{2}}$.

Vậy nguyên hàm của y là $\frac{2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x}{\ln \frac{1}{5}} - \frac{1}{25} \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\ln \frac{1}{2}} + C$.

Đáp án: $\frac{2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x}{\ln \frac{1}{5}} - \frac{1}{25} \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\ln \frac{1}{2}} + C$

h) $y = \frac{e^{2x} + 1}{e^x + 1} = \frac{e^{2x} + e^x - e^x + 1}{e^x + 1} = \frac{e^x(e^x + 1) - (e^x + 1) + 2}{e^x + 1} = e^x - 1 + \frac{2}{e^x + 1}$

Ta thực hiện phép chia đa thức.

Nguyên hàm của $e^x - 1$ là $e^x - x$. Nguyên hàm của $\frac{2}{e^x + 1}$ không có dạng cơ bản.

Đáp án: $e^x - x + \int \frac{2}{e^x + 1} dx + C$

i) $y = e^x \left(2025 - \frac{2024e^{-x}}{x^5}\right) = 2025e^x - \frac{2024}{x^5}$

Ta phân tích hàm số thành tổng của hai hàm số.

Nguyên hàm của $2025e^x$ là $2025e^x$, và nguyên hàm của $-\frac{2024}{x^5}$ là $\frac{2024}{4x^4} = \frac{506}{x^4}$.

Vậy nguyên hàm của y là $2025e^x + \frac{506}{x^4} + C$.

Đáp án: $2025e^x + \frac{506}{x^4} + C$

0 bình luận

Bình luận