cho phương trình : x² + (m + 1)x + m = 0 (1) a) chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm. Tìm nghiệm phương trình (1). b) Tìm m để x1^2 + x2^2 đạt gtnn

a) Ta xét phương trình: x² + (m + 1)x + m = 0 (1) Để chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm, ta tính delta: Δ = (m + 1)² - 4 × 1 × m = m² + 2m + 1 - 4m = m² - 2m + 1 = (m - 1)² Vì (m - 1)² ≥ 0 với mọi giá trị của m, nên Δ ≥ 0. Do đó, phương trình (1) luôn có nghiệm. Ta tìm nghiệm của phương trình (1): x1 = (- (m + 1) + √(m - 1)²) / 2 = (- (m + 1) + |m - 1|) / 2 x2 = (- (m + 1) - √(m - 1)²) / 2 = (- (m + 1) - |m - 1|) / 2 b) Ta cần tìm m để x1² + x2² đạt giá trị nhỏ nhất. Áp dụng công thức Vi-et: x1 + x2 = -(m + 1) x1 × x2 = m Ta có: x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2x1x2 = (-(m + 1))² - 2m = m² + 2m + 1 - 2m = m² + 1 Để x1² + x2² đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần m² + 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của m² + 1 là 1, đạt được khi m = 0. Vậy m = 0 để x1² + x2² đạt giá trị nhỏ nhất.