Cho 4a^3+3ab^2=7; b^3+12a^2b=13. Tính giá trị của P=4a^2-b^2

Ta có: \[ 4a^3 + 3ab^2 = 7 \] \[ b^3 + 12a^2b = 13 \] Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 3, ta được: \[ 12a^3 + 9ab^2 = 21 \] Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 4, ta được: \[ 4b^3 + 48a^2b = 52 \] Bây giờ, ta cộng hai phương trình này lại: \[ 12a^3 + 9ab^2 + 4b^3 + 48a^2b = 21 + 52 \] \[ 12a^3 + 4b^3 + 9ab^2 + 48a^2b = 73 \] Ta nhận thấy rằng: \[ 12a^3 + 4b^3 + 9ab^2 + 48a^2b = (2a)^3 + (2b)^3 + 3(2a)(2b)(2a + 2b) \] Áp dụng hằng đẳng thức \( x^3 + y^3 + 3xy(x + y) = (x + y)^3 \): \[ (2a)^3 + (2b)^3 + 3(2a)(2b)(2a + 2b) = (2a + 2b)^3 \] Do đó: \[ (2a + 2b)^3 = 73 \] Từ đây, ta có: \[ 2a + 2b = \sqrt[3]{73} \] Bây giờ, ta sẽ tính \( P = 4a^2 - b^2 \). Ta có: \[ 4a^2 - b^2 = (2a)^2 - b^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \): \[ (2a)^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b) \] Ta đã biết \( 2a + 2b = \sqrt[3]{73} \), do đó: \[ 2a + b = \frac{\sqrt[3]{73}}{2} \] Vì vậy: \[ 4a^2 - b^2 = (2a - b)\left(\frac{\sqrt[3]{73}}{2}\right) \] Để tính \( 2a - b \), ta cần biết giá trị của \( a \) và \( b \). Tuy nhiên, từ các phương trình ban đầu, ta có thể thấy rằng việc tính trực tiếp \( 2a - b \) là khó khăn. Do đó, ta cần tìm cách khác để tính \( P \). Ta quay lại phương trình ban đầu: \[ 4a^3 + 3ab^2 = 7 \] \[ b^3 + 12a^2b = 13 \] Ta thử thay \( a = 1 \) và \( b = 2 \): \[ 4(1)^3 + 3(1)(2)^2 = 4 + 12 = 16 \neq 7 \] Do đó, ta cần tìm giá trị khác. Ta thử thay \( a = 1 \) và \( b = 1 \): \[ 4(1)^3 + 3(1)(1)^2 = 4 + 3 = 7 \] \[ (1)^3 + 12(1)^2(1) = 1 + 12 = 13 \] Vậy \( a = 1 \) và \( b = 1 \) thỏa mãn các phương trình. Do đó: \[ P = 4(1)^2 - (1)^2 = 4 - 1 = 3 \] Vậy giá trị của \( P \) là: \[ \boxed{3} \]