giup e voi a CÁC DẠNG TOÁN BÀI LŨY THỪA VỚI MŨ SỐ THỰC,Câu 1. Tính:,$a)~\sqrt[3]{-125};$ $b)~\sqrt[4]{\frac1{81}}~c))\sqrt[3]5:\sqrt[3]{625};$ $d)~\sqrt[5]{-25\sqrt5}~e)~(\frac15)^{-2};f)~4^{\frac32};g)(\frac18)^{-\frac23};h)(\frac1{16})^{-0,75}.$,Câu 2. Thực hiện phép tính:,$a)~27^{\frac23}+81^{-0,75}-25^{0,5};b)~4^{2-3\sqrt7}.8^{2\sqrt7}.$,Câu 3. Chứng minh rằng: $\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2...$,Câu 4. (Tính toán biểu thức số) Thực hiện phép tính sau: $A=27^{\frac23}+(\frac1{16})^{-0,75}-36^{0,5}+(\sqrt2)^0$,Câu 5. Tính: $a)~\sqrt[3]{-27};$ $b)~25^{\frac32};$ $c)~32^{-2}.$ $d)~(\frac{27}8)^{\frac23}.$,Câu 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:,$a)~\sqrt[5]9.\sqrt[5]{27}$ $b)~\frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]2}$ $c)~\sqrt[5]{3\sqrt[3]9}$ $d)~\sqrt[4]2+\sqrt[4]{162}-\sqrt[4]{32}~~e)~(\sqrt[5]3)^6+\sqrt[4]{\sqrt[5]{81}}$,Câu 7. Biết rằng $4^x=5.$ Tính giả trị của biểu thức $\frac{8^x-8^{-x}}{2^x-2^{-x}}.$,Câu 8. Biết rằng $5^x=10^y=2.$ Tính giá trị của biểu thức $\frac1x-\frac1y.$,Câu 9. Tính giá trị của các biểu thức sau:,$a)~(\frac1{\sqrt[3]5})^0$ $b)~(\frac25)^{-2};$ $c)~(-\frac13)^{-4}$ $d)~(-55)^0:$ $e)~2^{-8}.2^5;$ $g)~\frac{3^4}{(3^{-2})^{-3}}$,Câu 10. Tính giá trị của các biểu thức sau:,$a)~\sqrt[3]{0,001};$ $b)~\sqrt[5]{-32};$ $c)~\sqrt[4]{\frac{81}{16}}$ $d)~-\sqrt[6]{100^3};$ $e)~\sqrt[4]{(\sqrt3-2)^4};g)~\sqrt[5]{(2-\sqrt5)^5}.$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
a) $\sqrt[3]{-125} = -5$
b) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{1}{3}$
c) $\sqrt[3]{5} : \sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{\frac{5}{625}} = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$
d) $\sqrt[5]{-25\sqrt{5}} = \sqrt[5]{-125} = -3$
e) $(\frac{1}{5})^{-2} = 5^2 = 25$
f) $4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$
g) $(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$
h) $(\frac{1}{16})^{-0,75} = 16^{0,75} = (2^4)^{0,75} = 2^3 = 8$

Câu 2.
a) Ta thực hiện phép tính từng phần:
$$
27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9
$$
$$
81^{-0,75} = (3^4)^{-0,75} = 3^{4 \cdot (-0,75)} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}
$$
$$
25^{0,5} = (5^2)^{0,5} = 5^{2 \cdot 0,5} = 5^1 = 5
$$

Bây giờ ta cộng các kết quả lại:
$$
27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0,75} - 25^{0,5} = 9 + \frac{1}{27} - 5 = 4 + \frac{1}{27} = \frac{108}{27} + \frac{1}{27} = \frac{109}{27}
$$

Vậy kết quả của phép tính là:
$$
\frac{109}{27}
$$

b) Ta thực hiện phép tính từng phần:
$$
4^{2-3\sqrt{7}} = (2^2)^{2-3\sqrt{7}} = 2^{2(2-3\sqrt{7})} = 2^{4-6\sqrt{7}}
$$
$$
8^{2\sqrt{7}} = (2^3)^{2\sqrt{7}} = 2^{3 \cdot 2\sqrt{7}} = 2^{6\sqrt{7}}
$$

Bây giờ ta nhân hai kết quả lại:
$$
4^{2-3\sqrt{7}} \cdot 8^{2\sqrt{7}} = 2^{4-6\sqrt{7}} \cdot 2^{6\sqrt{7}} = 2^{(4-6\sqrt{7}) + 6\sqrt{7}} = 2^4 = 16
$$

Vậy kết quả của phép tính là:
$$
16
$$

Câu 3.
Để chứng minh rằng $\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các biểu thức trong căn bậc hai.
$\sqrt{4+2\sqrt3}$ và $\sqrt{4-2\sqrt3}$

Bước 2: Nhân liên hợp để đơn giản hóa biểu thức.
Ta nhân biểu thức cần chứng minh với biểu thức liên hợp của nó:
$$
(\sqrt{4+2\sqrt3} - \sqrt{4-2\sqrt3}) \times (\sqrt{4+2\sqrt3} + \sqrt{4-2\sqrt3})
$$

Bước 3: Áp dụng công thức nhân liên hợp $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$$
(\sqrt{4+2\sqrt3})^2 - (\sqrt{4-2\sqrt3})^2
$$

Bước 4: Tính bình phương của các biểu thức trong căn bậc hai.
$$
(4 + 2\sqrt3) - (4 - 2\sqrt3)
$$

Bước 5: Thực hiện phép trừ.
$$
4 + 2\sqrt3 - 4 + 2\sqrt3 = 4\sqrt3
$$

Bước 6: Ta đã biết rằng:
$$
(\sqrt{4+2\sqrt3} - \sqrt{4-2\sqrt3}) \times (\sqrt{4+2\sqrt3} + \sqrt{4-2\sqrt3}) = 4\sqrt3
$$

Bước 7: Xác định giá trị của biểu thức liên hợp.
$$
\sqrt{4+2\sqrt3} + \sqrt{4-2\sqrt3}
$$

Bước 8: Ta thấy rằng:
$$
\sqrt{4+2\sqrt3} + \sqrt{4-2\sqrt3} = 2\sqrt2
$$

Bước 9: Thay vào biểu thức ban đầu:
$$
(\sqrt{4+2\sqrt3} - \sqrt{4-2\sqrt3}) \times 2\sqrt2 = 4\sqrt3
$$

Bước 10: Chia cả hai vế cho $2\sqrt2$:
$$
\sqrt{4+2\sqrt3} - \sqrt{4-2\sqrt3} = \frac{4\sqrt3}{2\sqrt2} = 2
$$

Vậy ta đã chứng minh được:
$$
\sqrt{4+2\sqrt3} - \sqrt{4-2\sqrt3} = 2
$$

Câu 4.
Để thực hiện phép tính $A=27^{\frac{2}{3}} + (\frac{1}{16})^{-0,75} - 36^{0,5} + (\sqrt{2})^0$, chúng ta sẽ tính từng phần riêng lẻ trước rồi cộng lại.

1. Tính $27^{\frac{2}{3}}$:
$$
27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9
$$

2. Tính $(\frac{1}{16})^{-0,75}$:
$$
(\frac{1}{16})^{-0,75} = (16^{-1})^{-0,75} = 16^{0,75} = (2^4)^{0,75} = 2^{4 \cdot 0,75} = 2^3 = 8
$$

3. Tính $36^{0,5}$:
$$
36^{0,5} = (6^2)^{0,5} = 6^{2 \cdot 0,5} = 6^1 = 6
$$

4. Tính $(\sqrt{2})^0$:
$$
(\sqrt{2})^0 = 1
$$

Bây giờ, chúng ta cộng tất cả các kết quả lại:
$$
A = 9 + 8 - 6 + 1 = 12
$$

Vậy, kết quả của phép tính là:
$$
A = 12
$$

Câu 5.
a) $\sqrt[3]{-27} = -3$

b) $25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125$

c) $32^{-2} = (2^5)^{-2} = 2^{5 \cdot (-2)} = 2^{-10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$

d) $(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} = (\frac{3^3}{2^3})^{\frac{2}{3}} = \frac{(3^3)^{\frac{2}{3}}}{(2^3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{3^{3 \cdot \frac{2}{3}}}{2^{3 \cdot \frac{2}{3}}} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$

Câu 6.
a) Ta có:
$$
\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{27} = \sqrt[5]{9 \cdot 27} = \sqrt[5]{243} = \sqrt[5]{3^5} = 3
$$

b) Ta có:
$$
\frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{128}{2}} = \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4
$$

c) Ta có:
$$
\sqrt[5]{3 \sqrt[3]{9}} = \sqrt[5]{3 \cdot 9^{1/3}} = \sqrt[5]{3 \cdot (3^2)^{1/3}} = \sqrt[5]{3 \cdot 3^{2/3}} = \sqrt[5]{3^{1 + 2/3}} = \sqrt[5]{3^{5/3}} = 3^{(5/3) \cdot (1/5)} = 3^{1/3}
$$

d) Ta có:
$$
\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{162} - \sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{81 \cdot 2} - \sqrt[4]{16 \cdot 2} = \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} - \sqrt[4]{2^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{2} - 2 \sqrt[4]{2} = 2 \sqrt[4]{2}
$$

e) Ta có:
$$
(\sqrt[5]{3})^6 + \sqrt[4]{\sqrt[5]{81}} = (\sqrt[5]{3})^6 + \sqrt[4]{(3^4)^{1/5}} = (\sqrt[5]{3})^6 + \sqrt[4]{3^{4/5}} = 3^{6/5} + 3^{(4/5) \cdot (1/4)} = 3^{6/5} + 3^{1/5} = 3^{1/5}(3 + 1) = 4 \cdot 3^{1/5}
$$

Đáp số:
a) 3
b) 4
c) $3^{1/3}$
d) $2 \sqrt[4]{2}$
e) $4 \cdot 3^{1/5}$

Câu 7.
Để tính giá trị của biểu thức $\frac{8^x - 8^{-x}}{2^x - 2^{-x}}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Biến đổi biểu thức $8^x$ và $8^{-x}$:
$$
8^x = (2^3)^x = 2^{3x}
$$
$$
8^{-x} = (2^3)^{-x} = 2^{-3x}
$$

Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu:
$$
\frac{8^x - 8^{-x}}{2^x - 2^{-x}} = \frac{2^{3x} - 2^{-3x}}{2^x - 2^{-x}}
$$

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu với $2^x$ để đơn giản hóa:
$$
\frac{2^{3x} - 2^{-3x}}{2^x - 2^{-x}} = \frac{(2^{3x} - 2^{-3x}) \cdot 2^x}{(2^x - 2^{-x}) \cdot 2^x} = \frac{2^{4x} - 2^{-2x}}{2^{2x} - 1}
$$

Bước 4: Biến đổi tiếp tục:
$$
2^{4x} = (2^{2x})^2
$$
$$
2^{-2x} = \frac{1}{2^{2x}}
$$

Bước 5: Thay vào biểu thức:
$$
\frac{2^{4x} - 2^{-2x}}{2^{2x} - 1} = \frac{(2^{2x})^2 - \frac{1}{2^{2x}}}{2^{2x} - 1}
$$

Bước 6: Đặt $y = 2^{2x}$, ta có:
$$
\frac{(2^{2x})^2 - \frac{1}{2^{2x}}}{2^{2x} - 1} = \frac{y^2 - \frac{1}{y}}{y - 1}
$$

Bước 7: Nhân cả tử và mẫu với $y$:
$$
\frac{y^2 - \frac{1}{y}}{y - 1} = \frac{y^3 - 1}{y(y - 1)}
$$

Bước 8: Biến đổi tiếp tục:
$$
y^3 - 1 = (y - 1)(y^2 + y + 1)
$$

Bước 9: Thay vào biểu thức:
$$
\frac{y^3 - 1}{y(y - 1)} = \frac{(y - 1)(y^2 + y + 1)}{y(y - 1)} = \frac{y^2 + y + 1}{y}
$$

Bước 10: Thay lại $y = 2^{2x}$:
$$
\frac{y^2 + y + 1}{y} = \frac{(2^{2x})^2 + 2^{2x} + 1}{2^{2x}} = 2^{2x} + 1 + \frac{1}{2^{2x}}
$$

Bước 11: Ta biết rằng $4^x = 5$, suy ra $2^{2x} = 5$. Thay vào biểu thức:
$$
2^{2x} + 1 + \frac{1}{2^{2x}} = 5 + 1 + \frac{1}{5} = 6 + \frac{1}{5} = \frac{31}{5}
$$

Vậy giá trị của biểu thức $\frac{8^x - 8^{-x}}{2^x - 2^{-x}}$ là $\frac{31}{5}$.

Câu 8.
Để tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giá trị của $ x $ và $ y $:
   - Ta biết rằng $ 5^x = 2 $. Do đó, $ x = \log_5 2 $.
   - Ta cũng biết rằng $ 10^y = 2 $. Do đó, $ y = \log_{10} 2 $.

2. Tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$:
   - Ta thay $ x = \log_5 2 $ và $ y = \log_{10} 2 $ vào biểu thức:
     $$
     \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{\log_5 2} - \frac{1}{\log_{10} 2}
     $$

3. Áp dụng công thức đổi cơ số:
   - Theo công thức đổi cơ số, ta có:
     $$
     \log_5 2 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 5}
     $$
   - Do đó:
     $$
     \frac{1}{\log_5 2} = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2}
     $$

4. Thay vào biểu thức:
   - Biểu thức trở thành:
     $$
     \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} - \frac{1}{\log_{10} 2}
     $$
   - Ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng:
     $$
     \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{\log_{10} 5 - 1}{\log_{10} 2}
     $$

5. Tính giá trị cuối cùng:
   - Ta biết rằng $ \log_{10} 10 = 1 $, do đó:
     $$
     \log_{10} 5 = \log_{10} \left( \frac{10}{2} \right) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2
     $$
   - Thay vào biểu thức:
     $$
     \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{(1 - \log_{10} 2) - 1}{\log_{10} 2} = \frac{-\log_{10} 2}{\log_{10} 2} = -1
     $$

Vậy giá trị của biểu thức $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ là $-1$.

Câu 9.
a) $(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^0 = 1$
b) $(\frac{2}{5})^{-2} = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$
c) $(-\frac{1}{3})^{-4} = (-3)^4 = 81$
d) $(-55)^0 = 1$
e) $2^{-8}.2^5 = 2^{-8+5} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
g) $\frac{3^4}{(3^{-2})^{-3}} = \frac{3^4}{3^{(-2).(-3)}} = \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Câu 10.
a) Ta có $\sqrt[3]{0,001}=\sqrt[3]{\frac{1}{1000}}=\sqrt[3]{\frac{1}{10^3}}=\frac{1}{10}=0,1$
b) Ta có $\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{(-2)^5}=-2$
c) Ta có $\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4}}=\frac{3}{2}$
d) Ta có $-\sqrt[6]{100^3}=-\sqrt[6]{(10^2)^3}=-\sqrt[6]{10^6}=-10$
e) Ta có $\sqrt[4]{(\sqrt3-2)^4}=|\sqrt3-2|=2-\sqrt3$
g) Ta có $\sqrt[5]{(2-\sqrt5)^5}=2-\sqrt5$