giup e voi a

Câu 1. a) $\sqrt[3]{-125} = -5$ b) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{1}{3}$ c) $\sqrt[3]{5} : \sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{\frac{5}{625}} = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$ d) $\sqrt[5]{-25\sqrt{5}} = \sqrt[5]{-125} = -3$ e) $(\frac{1}{5})^{-2} = 5^2 = 25$ f) $4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$ g) $(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$ h) $(\frac{1}{16})^{-0,75} = 16^{0,75} = (2^4)^{0,75} = 2^3 = 8$ Câu 2. a) Ta thực hiện phép tính từng phần: \[ 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \] \[ 81^{-0,75} = (3^4)^{-0,75} = 3^{4 \cdot (-0,75)} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \] \[ 25^{0,5} = (5^2)^{0,5} = 5^{2 \cdot 0,5} = 5^1 = 5 \] Bây giờ ta cộng các kết quả lại: \[ 27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0,75} - 25^{0,5} = 9 + \frac{1}{27} - 5 = 4 + \frac{1}{27} = \frac{108}{27} + \frac{1}{27} = \frac{109}{27} \] Vậy kết quả của phép tính là: \[ \frac{109}{27} \] b) Ta thực hiện phép tính từng phần: \[ 4^{2-3\sqrt{7}} = (2^2)^{2-3\sqrt{7}} = 2^{2(2-3\sqrt{7})} = 2^{4-6\sqrt{7}} \] \[ 8^{2\sqrt{7}} = (2^3)^{2\sqrt{7}} = 2^{3 \cdot 2\sqrt{7}} = 2^{6\sqrt{7}} \] Bây giờ ta nhân hai kết quả lại: \[ 4^{2-3\sqrt{7}} \cdot 8^{2\sqrt{7}} = 2^{4-6\sqrt{7}} \cdot 2^{6\sqrt{7}} = 2^{(4-6\sqrt{7}) + 6\sqrt{7}} = 2^4 = 16 \] Vậy kết quả của phép tính là: \[ 16 \] Câu 3. Để chứng minh rằng $\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các biểu thức trong căn bậc hai. $\sqrt{4+2\sqrt3}$ và $\sqrt{4-2\sqrt3}$ Bước 2: Nhân liên hợp để đơn giản hóa biểu thức. Ta nhân biểu thức cần chứng minh với biểu thức liên hợp của nó: \[ (\sqrt{4+2\sqrt3} - \sqrt{4-2\sqrt3}) \times (\sqrt{4+2\sqrt3} + \sqrt{4-2\sqrt3}) \] Bước 3: Áp dụng công thức nhân liên hợp $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. \[ (\sqrt{4+2\sqrt3})^2 - (\sqrt{4-2\sqrt3})^2 \] Bước 4: Tính bình phương của các biểu thức trong căn bậc hai. \[ (4 + 2\sqrt3) - (4 - 2\sqrt3) \] Bước 5: Thực hiện phép trừ. \[ 4 + 2\sqrt3 - 4 + 2\sqrt3 = 4\sqrt3 \] Bước 6: Ta đã biết rằng: \[ (\sqrt{4+2\sqrt3} - \sqrt{4-2\sqrt3}) \times (\sqrt{4+2\sqrt3} + \sqrt{4-2\sqrt3}) = 4\sqrt3 \] Bước 7: Xác định giá trị của biểu thức liên hợp. \[ \sqrt{4+2\sqrt3} + \sqrt{4-2\sqrt3} \] Bước 8: Ta thấy rằng: \[ \sqrt{4+2\sqrt3} + \sqrt{4-2\sqrt3} = 2\sqrt2 \] Bước 9: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ (\sqrt{4+2\sqrt3} - \sqrt{4-2\sqrt3}) \times 2\sqrt2 = 4\sqrt3 \] Bước 10: Chia cả hai vế cho $2\sqrt2$: \[ \sqrt{4+2\sqrt3} - \sqrt{4-2\sqrt3} = \frac{4\sqrt3}{2\sqrt2} = 2 \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \sqrt{4+2\sqrt3} - \sqrt{4-2\sqrt3} = 2 \] Câu 4. Để thực hiện phép tính $A=27^{\frac{2}{3}} + (\frac{1}{16})^{-0,75} - 36^{0,5} + (\sqrt{2})^0$, chúng ta sẽ tính từng phần riêng lẻ trước rồi cộng lại. 1. Tính $27^{\frac{2}{3}}$: \[ 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \] 2. Tính $(\frac{1}{16})^{-0,75}$: \[ (\frac{1}{16})^{-0,75} = (16^{-1})^{-0,75} = 16^{0,75} = (2^4)^{0,75} = 2^{4 \cdot 0,75} = 2^3 = 8 \] 3. Tính $36^{0,5}$: \[ 36^{0,5} = (6^2)^{0,5} = 6^{2 \cdot 0,5} = 6^1 = 6 \] 4. Tính $(\sqrt{2})^0$: \[ (\sqrt{2})^0 = 1 \] Bây giờ, chúng ta cộng tất cả các kết quả lại: \[ A = 9 + 8 - 6 + 1 = 12 \] Vậy, kết quả của phép tính là: \[ A = 12 \] Câu 5. a) $\sqrt[3]{-27} = -3$ b) $25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125$ c) $32^{-2} = (2^5)^{-2} = 2^{5 \cdot (-2)} = 2^{-10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$ d) $(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} = (\frac{3^3}{2^3})^{\frac{2}{3}} = \frac{(3^3)^{\frac{2}{3}}}{(2^3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{3^{3 \cdot \frac{2}{3}}}{2^{3 \cdot \frac{2}{3}}} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$ Câu 6. a) Ta có: \[ \sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{27} = \sqrt[5]{9 \cdot 27} = \sqrt[5]{243} = \sqrt[5]{3^5} = 3 \] b) Ta có: \[ \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{128}{2}} = \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4 \] c) Ta có: \[ \sqrt[5]{3 \sqrt[3]{9}} = \sqrt[5]{3 \cdot 9^{1/3}} = \sqrt[5]{3 \cdot (3^2)^{1/3}} = \sqrt[5]{3 \cdot 3^{2/3}} = \sqrt[5]{3^{1 + 2/3}} = \sqrt[5]{3^{5/3}} = 3^{(5/3) \cdot (1/5)} = 3^{1/3} \] d) Ta có: \[ \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{162} - \sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{81 \cdot 2} - \sqrt[4]{16 \cdot 2} = \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} - \sqrt[4]{2^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{2} - 2 \sqrt[4]{2} = 2 \sqrt[4]{2} \] e) Ta có: \[ (\sqrt[5]{3})^6 + \sqrt[4]{\sqrt[5]{81}} = (\sqrt[5]{3})^6 + \sqrt[4]{(3^4)^{1/5}} = (\sqrt[5]{3})^6 + \sqrt[4]{3^{4/5}} = 3^{6/5} + 3^{(4/5) \cdot (1/4)} = 3^{6/5} + 3^{1/5} = 3^{1/5}(3 + 1) = 4 \cdot 3^{1/5} \] Đáp số: a) 3 b) 4 c) $3^{1/3}$ d) $2 \sqrt[4]{2}$ e) $4 \cdot 3^{1/5}$ Câu 7. Để tính giá trị của biểu thức $\frac{8^x - 8^{-x}}{2^x - 2^{-x}}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Biến đổi biểu thức $8^x$ và $8^{-x}$: \[ 8^x = (2^3)^x = 2^{3x} \] \[ 8^{-x} = (2^3)^{-x} = 2^{-3x} \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{8^x - 8^{-x}}{2^x - 2^{-x}} = \frac{2^{3x} - 2^{-3x}}{2^x - 2^{-x}} \] Bước 3: Nhân cả tử và mẫu với $2^x$ để đơn giản hóa: \[ \frac{2^{3x} - 2^{-3x}}{2^x - 2^{-x}} = \frac{(2^{3x} - 2^{-3x}) \cdot 2^x}{(2^x - 2^{-x}) \cdot 2^x} = \frac{2^{4x} - 2^{-2x}}{2^{2x} - 1} \] Bước 4: Biến đổi tiếp tục: \[ 2^{4x} = (2^{2x})^2 \] \[ 2^{-2x} = \frac{1}{2^{2x}} \] Bước 5: Thay vào biểu thức: \[ \frac{2^{4x} - 2^{-2x}}{2^{2x} - 1} = \frac{(2^{2x})^2 - \frac{1}{2^{2x}}}{2^{2x} - 1} \] Bước 6: Đặt $y = 2^{2x}$, ta có: \[ \frac{(2^{2x})^2 - \frac{1}{2^{2x}}}{2^{2x} - 1} = \frac{y^2 - \frac{1}{y}}{y - 1} \] Bước 7: Nhân cả tử và mẫu với $y$: \[ \frac{y^2 - \frac{1}{y}}{y - 1} = \frac{y^3 - 1}{y(y - 1)} \] Bước 8: Biến đổi tiếp tục: \[ y^3 - 1 = (y - 1)(y^2 + y + 1) \] Bước 9: Thay vào biểu thức: \[ \frac{y^3 - 1}{y(y - 1)} = \frac{(y - 1)(y^2 + y + 1)}{y(y - 1)} = \frac{y^2 + y + 1}{y} \] Bước 10: Thay lại $y = 2^{2x}$: \[ \frac{y^2 + y + 1}{y} = \frac{(2^{2x})^2 + 2^{2x} + 1}{2^{2x}} = 2^{2x} + 1 + \frac{1}{2^{2x}} \] Bước 11: Ta biết rằng $4^x = 5$, suy ra $2^{2x} = 5$. Thay vào biểu thức: \[ 2^{2x} + 1 + \frac{1}{2^{2x}} = 5 + 1 + \frac{1}{5} = 6 + \frac{1}{5} = \frac{31}{5} \] Vậy giá trị của biểu thức $\frac{8^x - 8^{-x}}{2^x - 2^{-x}}$ là $\frac{31}{5}$. Câu 8. Để tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \( x \) và \( y \): - Ta biết rằng \( 5^x = 2 \). Do đó, \( x = \log_5 2 \). - Ta cũng biết rằng \( 10^y = 2 \). Do đó, \( y = \log_{10} 2 \). 2. Tính giá trị của biểu thức \(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\): - Ta thay \( x = \log_5 2 \) và \( y = \log_{10} 2 \) vào biểu thức: \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{\log_5 2} - \frac{1}{\log_{10} 2} \] 3. Áp dụng công thức đổi cơ số: - Theo công thức đổi cơ số, ta có: \[ \log_5 2 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 5} \] - Do đó: \[ \frac{1}{\log_5 2} = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} \] 4. Thay vào biểu thức: - Biểu thức trở thành: \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} - \frac{1}{\log_{10} 2} \] - Ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng: \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{\log_{10} 5 - 1}{\log_{10} 2} \] 5. Tính giá trị cuối cùng: - Ta biết rằng \( \log_{10} 10 = 1 \), do đó: \[ \log_{10} 5 = \log_{10} \left( \frac{10}{2} \right) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 \] - Thay vào biểu thức: \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{(1 - \log_{10} 2) - 1}{\log_{10} 2} = \frac{-\log_{10} 2}{\log_{10} 2} = -1 \] Vậy giá trị của biểu thức $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ là \(-1\). Câu 9. a) $(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^0 = 1$ b) $(\frac{2}{5})^{-2} = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$ c) $(-\frac{1}{3})^{-4} = (-3)^4 = 81$ d) $(-55)^0 = 1$ e) $2^{-8}.2^5 = 2^{-8+5} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ g) $\frac{3^4}{(3^{-2})^{-3}} = \frac{3^4}{3^{(-2).(-3)}} = \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$ Câu 10. a) Ta có $\sqrt[3]{0,001}=\sqrt[3]{\frac{1}{1000}}=\sqrt[3]{\frac{1}{10^3}}=\frac{1}{10}=0,1$ b) Ta có $\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{(-2)^5}=-2$ c) Ta có $\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4}}=\frac{3}{2}$ d) Ta có $-\sqrt[6]{100^3}=-\sqrt[6]{(10^2)^3}=-\sqrt[6]{10^6}=-10$ e) Ta có $\sqrt[4]{(\sqrt3-2)^4}=|\sqrt3-2|=2-\sqrt3$ g) Ta có $\sqrt[5]{(2-\sqrt5)^5}=2-\sqrt5$