Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có AB=2 và AA' = 2√3. Góc giữa đường thẳng AC' và (ABC) bằng Chọn một đáp án đúng A 45°. B 60°. C 30° 75°. D 00

Để tìm góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \((ABC)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: - Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(C'\) xuống mặt phẳng \((ABC)\). - Góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \((ABC)\) chính là góc \(\angle C'AH\). 2. Tính khoảng cách từ \(C'\) đến mặt phẳng \((ABC)\): - Vì lăng trụ đều, \(AA'\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), do đó \(C'H = AA' = 2\sqrt{3}\). 3. Tính độ dài đoạn thẳng \(AC\): - Trong tam giác đều \(ABC\), ta có \(AB = BC = CA = 2\). - Độ dài đoạn thẳng \(AC\) là \(2\). 4. Tính độ dài đoạn thẳng \(AC'\): - Ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(ACH'\): \[ AC' = \sqrt{AC^2 + C'H^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \] 5. Tính góc \(\angle C'AH\): - Trong tam giác vuông \(ACH'\), ta có: \[ \sin(\angle C'AH) = \frac{C'H}{AC'} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Từ đó suy ra \(\angle C'AH = 60^\circ\). Vậy góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \((ABC)\) là \(60^\circ\). Đáp án đúng là: B. 60°.