giúp mik vs

Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tối ưu hóa trong đại số, cụ thể là tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số chi phí dựa trên thể tích cố định của hộp hình trụ. Bước 1: Xác định thể tích của hộp hình trụ. Thể tích của hộp hình trụ được cho là 5 lít, tức là 5000 cm³. Bước 2: Biểu diễn thể tích theo bán kính đáy và chiều cao. Thể tích của hộp hình trụ được tính bằng công thức: \[ V = \pi r^2 h \] Trong đó \( r \) là bán kính đáy và \( h \) là chiều cao của hộp. Bước 3: Biểu diễn chiều cao \( h \) theo bán kính \( r \). Từ công thức thể tích, ta có: \[ 5000 = \pi r^2 h \] \[ h = \frac{5000}{\pi r^2} \] Bước 4: Biểu diễn diện tích toàn phần của hộp hình trụ. Diện tích toàn phần của hộp hình trụ bao gồm diện tích hai đáy và diện tích xung quanh: \[ S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h \] Bước 5: Thay \( h \) vào biểu thức diện tích toàn phần. \[ S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \left(\frac{5000}{\pi r^2}\right) \] \[ S = 2 \pi r^2 + \frac{10000}{r} \] Bước 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số diện tích toàn phần. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( S(r) = 2 \pi r^2 + \frac{10000}{r} \), ta tính đạo hàm và tìm điểm cực tiểu. Tính đạo hàm của \( S \): \[ S'(r) = 4 \pi r - \frac{10000}{r^2} \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: \[ 4 \pi r - \frac{10000}{r^2} = 0 \] \[ 4 \pi r = \frac{10000}{r^2} \] \[ 4 \pi r^3 = 10000 \] \[ r^3 = \frac{10000}{4 \pi} \] \[ r^3 = \frac{2500}{\pi} \] \[ r = \sqrt[3]{\frac{2500}{\pi}} \] Bước 7: Tính giá trị của \( r \). \[ r \approx \sqrt[3]{\frac{2500}{3.14159}} \] \[ r \approx \sqrt[3]{796.178} \] \[ r \approx 9.27 \text{ cm} \] Vậy bán kính \( r \) của đáy hộp để chi phí là bé nhất là khoảng 9.27 cm. Câu 3. Trước tiên, ta xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp S.ABCD trong hệ tọa độ Oxyz, với O là giao điểm của đường thẳng qua A và vuông góc với đáy và đường thẳng qua D và song song với đáy. - Đặt A(0, 0, 0), B(2a, 0, 0), D(0, a, 0), C(a, a, 0), S(0, 0, 3a). - Trung điểm M của AB là M(a, 0, 0). Ta viết phương trình đường thẳng SB và DM: - Đường thẳng SB đi qua S(0, 0, 3a) và B(2a, 0, 0): \[ \frac{x - 0}{2a - 0} = \frac{y - 0}{0 - 0} = \frac{z - 3a}{0 - 3a} \Rightarrow \frac{x}{2a} = \frac{z}{-3a} \] Hay: \[ x = 2t, \quad y = 0, \quad z = 3a - 3at \] - Đường thẳng DM đi qua D(0, a, 0) và M(a, 0, 0): \[ \frac{x - 0}{a - 0} = \frac{y - a}{0 - a} = \frac{z - 0}{0 - 0} \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{y - a}{-a} \] Hay: \[ x = at, \quad y = a - at, \quad z = 0 \] Tiếp theo, ta tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM. Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \[ d = \frac{|(\vec{SB} \times \vec{DM}) \cdot \vec{SD}|}{|\vec{SB} \times \vec{DM}|} \] Trong đó: - \(\vec{SB} = (2a, 0, -3a)\) - \(\vec{DM} = (a, -a, 0)\) - \(\vec{SD} = (0, a, -3a)\) Tính tích vector \(\vec{SB} \times \vec{DM}\): \[ \vec{SB} \times \vec{DM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2a & 0 & -3a \\ a & -a & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-3a)(-a)) - \mathbf{j}(2a \cdot 0 - (-3a)(a)) + \mathbf{k}(2a \cdot (-a) - 0 \cdot a) = \mathbf{i}(-3a^2) - \mathbf{j}(3a^2) + \mathbf{k}(-2a^2) = (-3a^2, -3a^2, -2a^2) \] Tính độ dài của \(\vec{SB} \times \vec{DM}\): \[ |\vec{SB} \times \vec{DM}| = \sqrt{(-3a^2)^2 + (-3a^2)^2 + (-2a^2)^2} = \sqrt{9a^4 + 9a^4 + 4a^4} = \sqrt{22a^4} = a^2\sqrt{22} \] Tính tích vô hướng \((\vec{SB} \times \vec{DM}) \cdot \vec{SD}\): \[ (\vec{SB} \times \vec{DM}) \cdot \vec{SD} = (-3a^2, -3a^2, -2a^2) \cdot (0, a, -3a) = (-3a^2 \cdot 0) + (-3a^2 \cdot a) + (-2a^2 \cdot -3a) = 0 - 3a^3 + 6a^3 = 3a^3 \] Cuối cùng, tính khoảng cách: \[ d = \frac{|3a^3|}{a^2\sqrt{22}} = \frac{3a^3}{a^2\sqrt{22}} = \frac{3a}{\sqrt{22}} = \frac{3a\sqrt{22}}{22} \] Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM là \(\frac{3a\sqrt{22}}{22}\). Vậy \(x = 3\) và \(y = 22\), suy ra \(3x + 2y = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 22 = 9 + 44 = 53\). Đáp số: \(53\). Câu 4. Để tính khoảng cách giữa hai máy bay A và B lúc 6h30', chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định thời gian đã bay của mỗi máy bay: - Máy bay A xuất phát lúc 6h và bay đến 6h30', tức là đã bay trong 30 phút. - Máy bay B xuất phát lúc 6h10' và bay đến 6h30', tức là đã bay trong 20 phút. 2. Tính quãng đường mỗi máy bay đã bay: - Quãng đường máy bay A đã bay: \( d_A = v_A \times t_A = 800 \text{ km/h} \times \frac{30}{60} \text{ h} = 400 \text{ km} \) - Quãng đường máy bay B đã bay: \( d_B = v_B \times t_B = 900 \text{ km/h} \times \frac{20}{60} \text{ h} = 300 \text{ km} \) 3. Xác định hướng bay của mỗi máy bay: - Máy bay A bay theo tia \(\overrightarrow{OA}\) hợp với ba tia \(\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{Oy}, \overrightarrow{Oz}\) các góc bằng nhau. Điều này có nghĩa là máy bay A bay theo phương thẳng đứng (tức là theo tia \(\overrightarrow{Oz}\)). - Máy bay B bay theo tia \(\overrightarrow{OB}\) hợp với ba tia \(\overrightarrow{Ox'}, \overrightarrow{Oy'}, \overrightarrow{Oz}\) các góc bằng nhau. Điều này có nghĩa là máy bay B bay theo phương thẳng đứng (tức là theo tia \(\overrightarrow{Oz}\)). 4. Tính khoảng cách giữa hai máy bay: - Vì cả hai máy bay đều bay theo phương thẳng đứng, khoảng cách giữa chúng là khoảng cách giữa hai điểm trên cùng một đường thẳng đứng. - Khoảng cách giữa hai máy bay là: \( d = |d_A - d_B| = |400 \text{ km} - 300 \text{ km}| = 100 \text{ km} \) Vậy khoảng cách giữa hai máy bay A và B lúc 6h30' là 100 km.