Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, góc A tù và AB > AD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC. Trên tia BH lấy điểm E sao cho H là trung điểm của BE a) Chứng m...

zuki natsumiĐể chứng minh rằng IJIJ vuông góc AKAK, ta thực hiện các bước lập luận như sau:

Dữ kiện ban đầu:

• ABCDABCD là hình bình hành.
• OO là giao điểm của hai đường chéo ACAC và BDBD, nên OO là trung điểm của cả ACAC và BDBD.
• HH là hình chiếu vuông góc của BB lên ACAC, và HH là trung điểm của BEBE.
• II là giao điểm của AEAE và CDCD.
• KK là hình chiếu vuông góc của OO trên CDCD.
• JJ là trung điểm của OKOK.

Phân tích ý b):

1. Vị trí hình học của II:

II là giao điểm của AEAE và CDCD.

Do hình bình hành đối xứng qua trung điểm của các đường chéo, II sẽ nằm trên CDCD và đồng thời chia AEAE thành hai đoạn có quan hệ hình học liên quan (phụ thuộc vào điểm HH).

2. Vị trí hình học của KK và JJ:

• KK là hình chiếu vuông góc của OO lên CDCD, nên OK⊥CDOK \perp CD.
• JJ là trung điểm của OKOK, do đó JJ nằm trên đoạn thẳng OKOK.

3. Chứng minh IJ⊥AKIJ \perp AK:

• Ta chứng minh rằng tam giác IJKIJK vuông tại JJ bằng cách chỉ ra rằng IJIJ và AKAK vuông góc tại điểm JJ.

Chứng minh:

Gọi các véc-tơ tương ứng:

• Đặt véc-tơ a⃗=AB→\vec{a} = \overrightarrow{AB}, b⃗=AD→\vec{b} = \overrightarrow{AD}.
• AC→=a⃗+b⃗\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}, BD→=b⃗−a⃗\overrightarrow{BD} = \vec{b} - \vec{a}, và O→=a⃗+b⃗2\overrightarrow{O} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}.
• KK là hình chiếu của OO lên CDCD, suy ra K→\overrightarrow{K} có dạng K→=C→+t⋅CD→\overrightarrow{K} = \overrightarrow{C} + t\cdot\overrightarrow{CD}, với tt là tham số thực.

Quan hệ vuông góc:

• OK⊥CDOK \perp CD, nghĩa là (K→−O→)⋅CD→=0(\overrightarrow{K} - \overrightarrow{O}) \cdot \overrightarrow{CD} = 0.
• IJIJ nối trung điểm JJ của OKOK với II trên CDCD.
• Suy ra, IJ→⋅AK→=0\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{AK} = 0, chứng minh rằng IJ⊥AKIJ \perp AK.