Câu 15. Cho ABC vuông tại A có đường cao AH . Biết BC = 5cm, sinC = 0,8. Tính AC và diện tích ACH?

Câu 15. Trước tiên, ta cần tìm độ dài cạnh AC bằng cách sử dụng tỉ số lượng giác sinC. 1. Tìm độ dài cạnh AC: Ta biết rằng $\sin C = \frac{AB}{BC}$. Thay các giá trị đã biết vào: \[ \sin C = 0,8 = \frac{AB}{5} \] Từ đó, ta có: \[ AB = 0,8 \times 5 = 4 \text{ cm} \] 2. Tìm độ dài cạnh AC: Trong tam giác vuông ABC, theo định lý Pythagoras: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 5^2 = 4^2 + AC^2 \] \[ 25 = 16 + AC^2 \] \[ AC^2 = 25 - 16 = 9 \] \[ AC = \sqrt{9} = 3 \text{ cm} \] 3. Tìm diện tích tam giác ACH: Trước tiên, ta cần tìm độ dài đoạn thẳng AH. Ta biết rằng AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, do đó tam giác AHC cũng là tam giác vuông tại H. Theo tỉ số lượng giác cosC: \[ \cos C = \frac{AC}{BC} \] \[ \cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6 \] \[ \cos C = 0,6 = \frac{AC}{5} \] \[ AC = 0,6 \times 5 = 3 \text{ cm} \] Bây giờ, ta cần tìm độ dài đoạn thẳng AH. Ta sử dụng công thức diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \text{ cm}^2 \] Diện tích tam giác ABC cũng có thể được tính bằng: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH \] \[ 6 = \frac{1}{2} \times 5 \times AH \] \[ 6 = \frac{5}{2} \times AH \] \[ AH = \frac{6 \times 2}{5} = \frac{12}{5} = 2,4 \text{ cm} \] Cuối cùng, ta tính diện tích tam giác ACH: \[ S_{ACH} = \frac{1}{2} \times AC \times AH = \frac{1}{2} \times 3 \times 2,4 = \frac{1}{2} \times 7,2 = 3,6 \text{ cm}^2 \] Đáp số: - Độ dài cạnh AC: 3 cm - Diện tích tam giác ACH: 3,6 cm²