Cho M = a² + 3a + 1 với a là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ.
b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với những giá trị nào của a thì M là luỹ thừa của 5?

Question

Timi · Accepted Answer

a) Ta thấy M = a² + 3a + 1. 
- Nếu a là số chẵn thì a² và 3a cũng là số chẵn, do đó M là số lẻ.
- Nếu a là số lẻ thì a² và 3a cũng là số lẻ, do đó M là số lẻ.
Vậy mọi ước của M đều là số lẻ.

b) Để M chia hết cho 5, ta xét các trường hợp của a:
- Nếu a = 5k (k là số nguyên), ta có M = (5k)² + 3(5k) + 1 = 25k² + 15k + 1. 
  Ta thấy 25k² + 15k chia hết cho 5, nên M chia hết cho 5.
- Nếu a = 5k + 1, ta có M = (5k + 1)² + 3(5k + 1) + 1 = 25k² + 10k + 1 + 15k + 3 + 1 = 25k² + 25k + 5. 
  Ta thấy 25k² + 25k + 5 chia hết cho 5, nên M chia hết cho 5.
- Nếu a = 5k + 2, ta có M = (5k + 2)² + 3(5k + 2) + 1 = 25k² + 20k + 4 + 15k + 6 + 1 = 25k² + 35k + 11. 
  Ta thấy 25k² + 35k + 11 không chia hết cho 5, nên M không chia hết cho 5.
- Nếu a = 5k + 3, ta có M = (5k + 3)² + 3(5k + 3) + 1 = 25k² + 30k + 9 + 15k + 9 + 1 = 25k² + 45k + 19. 
  Ta thấy 25k² + 45k + 19 không chia hết cho 5, nên M không chia hết cho 5.
- Nếu a = 5k + 4, ta có M = (5k + 4)² + 3(5k + 4) + 1 = 25k² + 40k + 16 + 15k + 12 + 1 = 25k² + 55k + 29. 
  Ta thấy 25k² + 55k + 29 không chia hết cho 5, nên M không chia hết cho 5.

Vậy M chia hết cho 5 khi a = 5k hoặc a = 5k + 1.

Để M là lũy thừa của 5, ta xét các trường hợp:
- Nếu a = 5k, ta có M = 25k² + 15k + 1. 
  Ta thấy 25k² + 15k + 1 không là lũy thừa của 5.
- Nếu a = 5k + 1, ta có M = 25k² + 25k + 5. 
  Ta thấy 25k² + 25k + 5 = 5(5k² + 5k + 1). 
  Để M là lũy thừa của 5, ta cần 5k² + 5k + 1 là lũy thừa của 5. 
  Ta thấy 5k² + 5k + 1 không là lũy thừa của 5.

Vậy không có giá trị nào của a sao cho M là lũy thừa của 5.

lehuong · Answer

a) Giả sử ước của M là số chã̃n thì $M=2 . k \Leftrightarrow a^2+3 a+1=2 k$

Ta thấy $a^2+3 a+1=a(a+1)+2 a+1$
$a(a+1)$ là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 . Vộy thì $a(a+1)+2 a$ chia hết cho 2 .

Vi $2 k$ chia hết cho $2, a(a+1)+2 a$ cũng chia hết cho 2 nên 1 chia hết 2 (vô lý)
Vậy nên mọi ước của $M$ đểu là số lẻ.
b) Đặt $a=5 u+v(u \in N ; 0 \leq v \leq 4)$

Khi đó $M=(5 u+v)^2+3(5 u+v)+1$

$=25 u^2+10 u v+v^2+15 u+3 v+1$

$=\left(25 u^2+10 u v+15 u\right)+v^2+3 v+1$
Để M chia hết 5 thì $v^2+3 v+1 \vdots 5$

Với $0 \leq v \leq 4$, ta thấy chỉ có $v=4$ là thỏa mãn.

Vậy $a=5 u+4(u \in N)$

Để M là̀ lũy thừa của 5 thì $a=5 u+4(u \in N)$

$\Rightarrow M=(5 u+4)^2+3(5 u+4)+1$

Với n chã̃n, a có tận cùng là chữ số 4 . Vậy thì M có tận cùng là chữ số 9
Vậy không thể là lũy thừa của 5 .
Với $n$ lẻ, $a$ có tận cùng là chữ số 9 . Vậy thì $M$ có tộn cùng là chữ số 9
Vậy không thể là lũy thừa của 5 .
Vộy không tổn tại số a để M là lũy thừa của 5 .

Ngoc12 · Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A=2n^{2} +n-6=n( 2n+1) -6\
Ta\ thấy:\ n( 2n+1) \vdots 2n+1\ với\ mọi\ n\
\Longrightarrow \ Để\ A\vdots 2n+1\ thì\ 6\vdots 2n+1\
\Longrightarrow \ 2n+1\in Ư( 6) .\ Mà\ 2n+1\ là\ số\ lẻ\
\Longrightarrow \ 2n+1=\{\pm 1,\pm 3\}\
\Longrightarrow \ n=\{0,-1,1,-2\}
\end{array}$

Cho M = a² + 3a + 1 với a là số nguyên dương. a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ. b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với những giá trị nào của a thì M là luỹ thừa của 5?