Câu 3. Xét hàm số y = x/2 - sin^2 x trên khoảng (0; pi) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: y' = 1/2 a) Hàm số nghịch biến trên khoảng ((5pi)/12; pi) b) Hàm số có 2 điểm cực trị c) Giá trị cực t...

Câu 3. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x}{2} - \sin^2 x \): \[ y' = \left(\frac{x}{2}\right)' - (\sin^2 x)' = \frac{1}{2} - 2\sin x \cos x = \frac{1}{2} - \sin 2x \] Bây giờ, ta xét từng mệnh đề: a) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{5\pi}{12}; \pi\right)\) Để hàm số nghịch biến, ta cần \( y' < 0 \). Ta có: \[ \frac{1}{2} - \sin 2x < 0 \] \[ \sin 2x > \frac{1}{2} \] Trên khoảng \((0; \pi)\), ta có \( 2x \) thuộc khoảng \((0; 2\pi)\). Ta cần tìm các khoảng trong đó \(\sin 2x > \frac{1}{2}\). - \( \sin 2x > \frac{1}{2} \) khi \( 2x \) thuộc khoảng \(\left(\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}\right)\) - Do đó, \( x \) thuộc khoảng \(\left(\frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12}\right)\) Như vậy, trên khoảng \(\left(\frac{5\pi}{12}; \pi\right)\), ta có \(\sin 2x < \frac{1}{2}\), do đó \( y' > 0 \). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng này, không phải nghịch biến. Mệnh đề a) sai. b) Hàm số có 2 điểm cực trị Ta cần tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{1}{2} - \sin 2x = 0 \] \[ \sin 2x = \frac{1}{2} \] Trên khoảng \((0; \pi)\), ta có \( 2x \) thuộc khoảng \((0; 2\pi)\). Ta cần tìm các giá trị của \( 2x \) sao cho \(\sin 2x = \frac{1}{2}\): - \( 2x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} \) - \( 2x = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{12} \) Như vậy, hàm số có 2 điểm cực trị tại \( x = \frac{\pi}{12} \) và \( x = \frac{5\pi}{12} \). Mệnh đề b) đúng. c) Giá trị cực tiểu của hàm số là \(\frac{5\pi}{24} - \frac{2 + \sqrt{3}}{4}\) Ta đã tìm được hai điểm cực trị \( x = \frac{\pi}{12} \) và \( x = \frac{5\pi}{12} \). Để xác định giá trị cực tiểu, ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại hai điểm này: - Tại \( x = \frac{\pi}{12} \): \[ y = \frac{\frac{\pi}{12}}{2} - \sin^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\pi}{24} - \left(\frac{1 - \cos \frac{\pi}{6}}{2}\right) = \frac{\pi}{24} - \left(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{24} - \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \] - Tại \( x = \frac{5\pi}{12} \): \[ y = \frac{\frac{5\pi}{12}}{2} - \sin^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{5\pi}{24} - \left(\frac{1 - \cos \frac{5\pi}{6}}{2}\right) = \frac{5\pi}{24} - \left(\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = \frac{5\pi}{24} - \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \] So sánh hai giá trị này, ta thấy giá trị cực tiểu là \(\frac{5\pi}{24} - \frac{2 + \sqrt{3}}{4}\). Mệnh đề c) đúng. d) Đồ thị hàm số \( y = f'(x) \) cắt đồ thị hàm số \( y = -\frac{\sin^2 (2x)}{2} \) tại 2 nghiệm trên khoảng \((0; \pi)\) Ta cần giải phương trình: \[ \frac{1}{2} - \sin 2x = -\frac{\sin^2 (2x)}{2} \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 1 - 2\sin 2x = -\sin^2 (2x) \] Di chuyển tất cả các hạng mục về một phía: \[ \sin^2 (2x) - 2\sin 2x + 1 = 0 \] Đặt \( t = \sin 2x \): \[ t^2 - 2t + 1 = 0 \] \[ (t - 1)^2 = 0 \] \[ t = 1 \] Do đó, \( \sin 2x = 1 \). Trên khoảng \((0; \pi)\), ta có \( 2x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} \). Như vậy, chỉ có một nghiệm duy nhất \( x = \frac{\pi}{4} \). Mệnh đề d) sai. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) sai.