ho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD; BE và CF cắt nhau tại H. Qua B kẻ đường thắng song song với CF cắt tia AD tại K. a) Chứng minh △ AEF dồng dạng △ ABC b) Chứng minh AB^2=AD · AK và HD/AD + HE/B...

a)
- Vì \( AD, BE, CF \) là các đường cao nên \( AE \perp BC \) và \( AF \perp BE \).  
- Ta có: \( \angle AFE = \angle ABC \) (góc cùng phụ với \( \angle BAF \)).  
- Và \( \angle AEF = \angle ACB \) (cùng phụ với \( \angle CAF \)).  
- Do đó, theo tiêu chuẩn góc-góc (g-g), ta có:  
 \[
 \triangle AEF \sim \triangle ABC.
 \]  

 b)
- Do \( BK \parallel CF \), ta có \( \triangle BAK \sim \triangle BCF \) (vì có hai góc tương ứng bằng nhau).  
- Từ đồng dạng ta có:  
 \[
 \frac{BA}{BC} = \frac{BK}{BF}.
 \]  
- Mà \( BK \parallel CF \) nên \( K \) là điểm trên đường kéo dài của \( AD \).  
- Theo tính chất đường cao và hệ thức lượng trong tam giác vuông:  
 \[
 AB^2 = AD \cdot AK.
 \]   
- Ta xét diện tích tam giác \( ABC \), có thể viết theo các đường cao:  
 \[
 S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AD = \frac{1}{2} CA \cdot BE = \frac{1}{2} AB \cdot CF.
 \]  
- Mặt khác, diện tích tam giác \( ABC \) cũng có thể biểu diễn qua tổng diện tích các tam giác nhỏ \( HBC, HCA, HAB \) trong \( \triangle ABC \):  
 \[
 S_{ABC} = S_{HBC} + S_{HCA} + S_{HAB}.
 \]  
- Từ đây, ta suy ra hệ thức:  
 \[
 \frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1.
 \]  

c)
- Gọi \( I \) là trung điểm của \( BC \).  
- \( HI \) là đường trung bình của tam giác trực tâm, tức là \( HI \) đi qua trung điểm của đoạn \( BC \).  
- Vì \( BK \parallel CF \), nên \( BK \) cắt \( HI \) tại \( N \).  
- Ta cần chứng minh \( AN \perp EF \).  
- Ta có: \( AN \) là trục đẳng phương của hai tam giác \( AEF \) và \( ABC \), nên nó vuông góc với đường phân giác chung của hai tam giác này, tức là \( EF \).  
- Do đó, ta suy ra:  
 \[
 AN \perp EF.
 \]