cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 18cm. một tiếp tuyến với đườngtròn nội tiếp tam giác cắt các cạnh AB và AC ở M, N. biết MN=8cm. tính diện tích tam giác AMN

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông tin đã cho:
   - Tam giác đều ABC có cạnh bằng 18 cm.
   - Tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp tam giác cắt các cạnh AB và AC ở M và N.
   - MN = 8 cm.

2. Xác định các tính chất của tam giác đều:
   - Các góc của tam giác đều đều bằng 60°.
   - Đường cao của tam giác đều cũng là đường phân giác và đường trung trực của tam giác.

3. Xác định bán kính đường tròn nội tiếp:
   - Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều có công thức: $ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} $, trong đó $ a $ là độ dài cạnh của tam giác đều.
   - Với $ a = 18 $ cm, ta có:
     $$
     r = \frac{18 \sqrt{3}}{6} = 3 \sqrt{3} \text{ cm}
     $$

4. Xác định khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến các cạnh của tam giác:
   - Khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến các cạnh của tam giác đều bằng bán kính đường tròn nội tiếp, tức là 3√3 cm.

5. Xác định diện tích tam giác AMN:
   - Vì MN là đoạn thẳng trên tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp, nên MN song song với BC và MN = 8 cm.
   - Tam giác AMN là tam giác đều với MN = 8 cm.
   - Diện tích tam giác đều có công thức: $ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} $, trong đó $ a $ là độ dài cạnh của tam giác đều.
   - Với $ a = 8 $ cm, ta có:
     $$
     S_{AMN} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3} \text{ cm}^2
     $$

Vậy diện tích tam giác AMN là $ 16 \sqrt{3} $ cm².