Cho lăng trụ tam giác đều ABC.DEG có cạnh AB=6.Gọi M là trung điểm cạnh AD.Biết góc giữa 2 đường thẳng CM và DB là 45 độ.Tính khoảng cách giữa đường thẳng CM và DB

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và DB trong lăng trụ tam giác đều ABC.DEG, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hình chiếu của điểm M lên đường thẳng DB: - Vì M là trung điểm của AD, ta có M nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm của AD và vuông góc với mặt phẳng (ABD). - Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng DB. Ta có MH là đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng CM và DB. 2. Tính khoảng cách từ M đến DB: - Ta biết rằng góc giữa hai đường thẳng CM và DB là 45 độ. Do đó, ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \[ d(CM, DB) = \frac{|CM| \cdot |DB| \cdot \sin(\theta)}{\sqrt{|CM|^2 + |DB|^2 - 2 \cdot |CM| \cdot |DB| \cdot \cos(\theta)}} \] - Trong đó, $\theta$ là góc giữa hai đường thẳng CM và DB, và $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 3. Tính độ dài các đoạn thẳng: - Độ dài cạnh AB = 6, do đó độ dài cạnh AD cũng là 6 (vì lăng trụ đều). - Độ dài đoạn thẳng DB là: \[ DB = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] - Độ dài đoạn thẳng CM là: \[ CM = \sqrt{CD^2 + DM^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] 4. Áp dụng công thức tính khoảng cách: - Thay các giá trị vào công thức: \[ d(CM, DB) = \frac{3\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{(3\sqrt{5})^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}} \] - Tính toán tiếp: \[ d(CM, DB) = \frac{3\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{45 + 72 - 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}} \] \[ d(CM, DB) = \frac{3\sqrt{5} \cdot 6 \cdot 1}{\sqrt{117 - 36\sqrt{5}}} \] \[ d(CM, DB) = \frac{18\sqrt{5}}{\sqrt{117 - 36\sqrt{5}}} \] 5. Kết luận: - Khoảng cách giữa đường thẳng CM và DB là: \[ d(CM, DB) = \frac{18\sqrt{5}}{\sqrt{117 - 36\sqrt{5}}} \] Đáp số: Khoảng cách giữa đường thẳng CM và DB là $\frac{18\sqrt{5}}{\sqrt{117 - 36\sqrt{5}}}$.