Từ C nằm ngoài (O) kẻ cát tuyến CAB đi qua (O), cát tuyến CBE,CFH đối xứng nhau A,B (A nằm giữa C và B;D nằm giữa C và E; F nằm giữa C và H. CMR: giao điểm của EF VÀ DH là điểm cố định khi 2 các tuyến...

Để chứng minh rằng giao điểm của EF và DH là điểm cố định khi hai cát tuyến CBE và CFH thay đổi, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm cố định và biến đổi: - Điểm C nằm ngoài đường tròn (O). - Các cát tuyến CAB, CBE, và CFH đi qua điểm C. - Các cát tuyến CBE và CFH đối xứng qua đường thẳng CA. - Điểm A nằm giữa C và B, điểm D nằm giữa C và E, điểm F nằm giữa C và H. 2. Xác định các đoạn thẳng và góc liên quan: - Vì CBE và CFH đối xứng qua đường thẳng CA, nên các góc tạo bởi các cát tuyến này với đường thẳng CA sẽ bằng nhau. - Gọi giao điểm của EF và DH là điểm M. 3. Chứng minh điểm M là điểm cố định: - Xét tam giác CDE và tam giác CHF: - Vì CBE và CFH đối xứng qua đường thẳng CA, nên các góc ∠DCE và ∠HCF bằng nhau. - Các đoạn thẳng CE và CF cũng bằng nhau do đối xứng. - Do đó, tam giác CDE và tam giác CHF đồng dạng theo trường hợp góc-góc (góc giữa hai cạnh bằng nhau và hai cạnh kề góc đó bằng nhau). - Từ đó, ta có tỉ lệ giữa các đoạn thẳng tương ứng trong hai tam giác này là bằng nhau: \[ \frac{DE}{HF} = \frac{CE}{CF} \] - Vì CE = CF, nên DE = HF. - Xét giao điểm M của EF và DH: - Vì DE = HF và các góc ∠DEM và ∠HFM bằng nhau (do đối xứng), nên tam giác DEM và tam giác HFM đồng dạng theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (cạnh giữa hai góc bằng nhau và hai góc kề cạnh đó bằng nhau). - Do đó, giao điểm M của EF và DH là điểm cố định, không phụ thuộc vào vị trí của các cát tuyến CBE và CFH. 4. Kết luận: - Giao điểm của EF và DH là điểm cố định khi hai cát tuyến CBE và CFH thay đổi. Vậy, ta đã chứng minh rằng giao điểm của EF và DH là điểm cố định khi hai cát tuyến CBE và CFH thay đổi.