giúp em với ạ

Câu 7: Để giải phương trình $3^{2025x} = 2^{x+1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Lấy logarit cơ số 2 của cả hai vế: \[ \log_2(3^{2025x}) = \log_2(2^{x+1}) \] 2. Áp dụng tính chất logarit $\log_b(a^c) = c \cdot \log_b(a)$: \[ 2025x \cdot \log_2(3) = (x + 1) \] 3. Rearrange the equation to isolate $x$: \[ 2025x \cdot \log_2(3) = x + 1 \] 4. Di chuyển tất cả các hạng mục liên quan đến $x$ về một phía: \[ 2025x \cdot \log_2(3) - x = 1 \] 5. Nhân chung $x$ ra ngoài: \[ x(2025 \cdot \log_2(3) - 1) = 1 \] 6. Giải ra $x$: \[ x = \frac{1}{2025 \cdot \log_2(3) - 1} \] 7. Tương đương với đáp án: \[ x = \frac{\log_2(3)}{2025 - \log_2(3)} \] Vậy đáp án đúng là: D. $x = \frac{\log_2(3)}{2025 - \log_2(3)}$ Đáp số: D. $x = \frac{\log_2(3)}{2025 - \log_2(3)}$ Câu 8: Để giải bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 1) < 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 1) < 2$, ta cần đảm bảo rằng $x^2 + 1 > 0$. Điều này luôn đúng vì $x^2 \geq 0$ nên $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. 2. Chuyển đổi bất phương trình về dạng dễ giải: - Ta biết rằng $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 1) < 2$ tương đương với $x^2 + 1 > \left(\frac{1}{2}\right)^2$. - Tính $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$, vậy ta có: \[ x^2 + 1 > \frac{1}{4} \] 3. Giải bất phương trình bậc hai: - Ta chuyển $\frac{1}{4}$ sang vế trái: \[ x^2 + 1 - \frac{1}{4} > 0 \] - Chuyển về cùng mẫu số: \[ x^2 + \frac{4}{4} - \frac{1}{4} > 0 \implies x^2 + \frac{3}{4} > 0 \] - Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số: \[ 4x^2 + 3 > 0 \] - Ta thấy rằng $4x^2 + 3$ luôn lớn hơn 0 với mọi $x \in \mathbb{R}$ vì $4x^2 \geq 0$ và cộng thêm 3 sẽ luôn lớn hơn 0. 4. Kết luận tập nghiệm: - Vì $4x^2 + 3 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, nên tập nghiệm của bất phương trình là toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 1) < 2$ là $S = \mathbb{R}$. Đáp án đúng là: A. $S = \mathbb{R}$. Câu 9: Câu hỏi yêu cầu xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho. Chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề sai. A. Hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^0.$ - Mệnh đề này đúng vì định nghĩa của hai đường thẳng vuông góc là góc giữa chúng bằng $90^0$. B. Trong không gian, góc giữa hai đường thẳng bất kỳ là góc không tù. - Mệnh đề này đúng vì góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian luôn là góc không tù (góc nhỏ hơn hoặc bằng $90^0$). C. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. - Mệnh đề này sai vì trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng không nhất thiết phải song song với nhau. Chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. D. Trong không gian, một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. - Mệnh đề này đúng vì nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại do tính chất của đường thẳng song song và vuông góc. Vậy mệnh đề sai là: C. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Đáp án: C. Câu 10: Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình thoi tâm O, do đó AC vuông góc với BD tại O. Mặt khác, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), suy ra SO vuông góc với AC. Bây giờ, ta xét các trường hợp sau: - Trong mặt phẳng (SAB), SO vuông góc với AC và AO vuông góc với AC. Vì vậy, AC vuông góc với cả SO và AO, suy ra AC vuông góc với mặt phẳng (SAB). - Trong mặt phẳng (SAD), SO vuông góc với AC và DO vuông góc với AC. Vì vậy, AC vuông góc với cả SO và DO, suy ra AC vuông góc với mặt phẳng (SAD). - Trong mặt phẳng (SCD), SO vuông góc với AC nhưng không có đường thẳng nào trong mặt phẳng này vuông góc với AC ngoại trừ SO, nên AC không vuông góc với mặt phẳng (SCD). - Trong mặt phẳng (SBD), SO vuông góc với AC nhưng không có đường thẳng nào trong mặt phẳng này vuông góc với AC ngoại trừ SO, nên AC không vuông góc với mặt phẳng (SBD). Do đó, đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SAB) và (SAD). Đáp án đúng là: A. (SAB) và B. (SAD). Câu 11: Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD). Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có AC' cắt mặt phẳng (ABCD) tại O. Vậy góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD) là góc C'OA. Ta sẽ tính sin của góc C'OA. - Ta biết rằng trong hình lập phương, các cạnh đều bằng nhau. Giả sử cạnh lập phương là a. - Vì O là tâm của hình vuông ABCD, nên OA = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. - Cạnh C'A = a√3 (vì C'A là đường chéo của hình lập phương). Bây giờ, ta tính sin của góc C'OA: sin(C'OA) = $\frac{C'O}{C'A}$ = $\frac{a}{a\sqrt{3}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vậy giá trị sin của góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD) là $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Câu 12: D. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. Lập luận từng bước: - Xét hai mặt phẳng \(P\) và \(Q\) vuông góc với nhau theo giao tuyến \(d\). - Lấy một đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(P\) và vuông góc với giao tuyến \(d\). Theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, nếu một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc, thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia. Do đó, đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(Q\). Vậy mệnh đề đúng là: D. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.