cứuuu tuii

Câu 1: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định sai. A. $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) + g(x)$. - Đây là khẳng định đúng vì theo tính chất của nguyên hàm, nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ và $G(x)$ là nguyên hàm của $g(x)$, thì $F(x) + G(x)$ là nguyên hàm của $f(x) + g(x)$. B. $kF(x)$ là một nguyên hàm của $kf(x)$ (với $k$ là một hằng số thực khác 0). - Đây cũng là khẳng định đúng vì theo tính chất của nguyên hàm, nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, thì $kF(x)$ là nguyên hàm của $kf(x)$. C. $F(x) - G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) - g(x)$. - Đây là khẳng định đúng vì theo tính chất của nguyên hàm, nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ và $G(x)$ là nguyên hàm của $g(x)$, thì $F(x) - G(x)$ là nguyên hàm của $f(x) - g(x)$. D. $F(x) \cdot G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) \cdot g(x)$. - Đây là khẳng định sai vì tích của hai nguyên hàm không phải là nguyên hàm của tích của hai hàm số. Tính chất của nguyên hàm không bao gồm việc tích của hai nguyên hàm là nguyên hàm của tích của hai hàm số. Vậy khẳng định sai là: D. $F(x) \cdot G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) \cdot g(x)$. Câu 2: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 \), chúng ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{với} \quad n \neq -1 \] Trong trường hợp này, \( n = 3 \). Do đó, ta có: \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 \) là: \[ \frac{1}{4} x^4 + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\frac{1}{4} x^4 + C$. Câu 3: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} + \sin x \), chúng ta sẽ tính riêng từng phần của hàm số này. 1. Tìm nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \): \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( \sin x \): \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_2 \] Bây giờ, chúng ta cộng hai kết quả trên lại: \[ \int \left( \frac{1}{x} + \sin x \right) \, dx = \ln |x| + (-\cos x) + (C_1 + C_2) \] Ta có thể gộp hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) thành một hằng số tổng quát \( C \): \[ \int \left( \frac{1}{x} + \sin x \right) \, dx = \ln |x| - \cos x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} + \sin x \) là: \[ \boxed{\ln |x| - \cos x + C} \] Do đó, đáp án đúng là: D. $\ln |x| - \cos x + C$. Câu 4: Ta có: \[ \int_{2}^{4} f(x) \, dx = F(4) - F(2) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ F(4) = 12 \quad \text{và} \quad F(2) = 6 \] Do đó: \[ \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 12 - 6 = 6 \] Vậy đáp án đúng là C. 6. Câu 5: Để tính tích phân \( I = \int^3_{-3} f(x) \, dx \), ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để phân tách nó thành các phần đã biết. Ta có: \[ I = \int^3_{-3} f(x) \, dx = \int^1_{-3} f(x) \, dx + \int^3_1 f(x) \, dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^1_{-3} f(x) \, dx = 2 \] \[ \int^3_1 f(x) \, dx = -5 \] Do đó, ta thay các giá trị này vào công thức trên: \[ I = 2 + (-5) = 2 - 5 = -3 \] Vậy giá trị của tích phân \( I \) là: \[ I = -3 \] Đáp án đúng là: A. -3. Câu 6: Để tính diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của các đường thẳng và đồ thị hàm số: - Đường thẳng \( y = x \) - Đường thẳng \( y = 2x \) - Đồ thị hàm số \( y = x^2 \) 2. Tìm giao điểm của các đường thẳng và đồ thị hàm số: - Giao điểm của \( y = x \) và \( y = x^2 \): \[ x = x^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] Các giao điểm là \( (0, 0) \) và \( (1, 1) \). - Giao điểm của \( y = 2x \) và \( y = x^2 \): \[ 2x = x^2 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Các giao điểm là \( (0, 0) \) và \( (2, 4) \). 3. Xác định vùng tô đậm: - Vùng tô đậm nằm giữa hai đường thẳng \( y = x \) và \( y = 2x \), và dưới đồ thị hàm số \( y = x^2 \). 4. Tính diện tích hình phẳng được tô đậm: - Diện tích hình phẳng được tô đậm là diện tích giữa hai đường thẳng \( y = x \) và \( y = 2x \), và dưới đồ thị hàm số \( y = x^2 \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). Ta tính diện tích này bằng cách lấy diện tích dưới đường thẳng \( y = 2x \) trừ đi diện tích dưới đường thẳng \( y = x \) và cộng thêm diện tích dưới đồ thị hàm số \( y = x^2 \). Diện tích dưới đường thẳng \( y = 2x \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \): \[ A_1 = \int_{0}^{1} 2x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] Diện tích dưới đường thẳng \( y = x \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \): \[ A_2 = \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \] Diện tích dưới đồ thị hàm số \( y = x^2 \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \): \[ A_3 = \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \] Diện tích hình phẳng được tô đậm: \[ S = A_1 - A_2 + A_3 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} - \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \] Vậy diện tích hình phẳng được tô đậm là \( \frac{5}{6} \).