cứu với mọi người

Câu 3. Trước tiên, ta cần tìm chiều dài các cạnh của đáy hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Vì đáy là hình vuông và đường chéo BD = 2 dm, ta có thể tính cạnh đáy bằng công thức đường chéo của hình vuông: \[ BD = a\sqrt{2} \] \[ 2 = a\sqrt{2} \] \[ a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \text{ dm} \] Tiếp theo, ta cần tìm chiều cao của hình hộp chữ nhật. Ta biết rằng góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A', BD, A] bằng 30°. Điều này có nghĩa là góc giữa đường thẳng A'A và mặt phẳng (ABCD) là 30°. Ta có thể vẽ đường cao từ A' xuống mặt phẳng (ABCD) và gọi giao điểm là H. Khi đó, tam giác AHA' là tam giác vuông tại H và góc HA'A = 30°. Ta có: \[ \sin(30^\circ) = \frac{AH}{AA'} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{AA'} \] \[ AA' = 2\sqrt{2} \text{ dm} \] Bây giờ, ta cần tính thể tích phần bên trong của hộp quà. Vì các mặt của vỏ hộp quà có độ dày bằng 0,5 cm, ta cần giảm chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật ban đầu đi 1 cm ở mỗi chiều (do độ dày ở cả hai phía). Chiều dài và chiều rộng phần bên trong là: \[ a_{\text{trong}} = \sqrt{2} - 0,1 = 0,9 \text{ dm} \] Chiều cao phần bên trong là: \[ h_{\text{trong}} = 2\sqrt{2} - 0,1 = 2,7 \text{ dm} \] Thể tích phần bên trong của hộp quà là: \[ V_{\text{trong}} = a_{\text{trong}} \times a_{\text{trong}} \times h_{\text{trong}} \] \[ V_{\text{trong}} = 0,9 \times 0,9 \times 2,7 = 2,187 \text{ dm}^3 \] Chuyển đổi sang đơn vị cm³: \[ V_{\text{trong}} = 2,187 \times 1000 = 2187 \text{ cm}^3 \] Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị: \[ V_{\text{trong}} \approx 2187 \text{ cm}^3 \] Đáp số: 2187 cm³ Câu 4. Đầu tiên, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, đại lượng này sẽ giúp ta xác định hướng và tốc độ của máy bay. Vectơ $\overrightarrow{AB} = (940 - 800, 550 - 500, 8 - 7) = (140, 50, 1)$ Tiếp theo, ta tính khoảng thời gian máy bay đã di chuyển từ A đến B là 10 phút, do đó trong 10 phút tiếp theo, máy bay sẽ tiếp tục di chuyển với cùng một vectơ chỉ phương. Ta có tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là D(x, y, z). Tọa độ của điểm D sẽ là: \[ D = B + \overrightarrow{AB} \] \[ D = (940, 550, 8) + (140, 50, 1) \] \[ D = (940 + 140, 550 + 50, 8 + 1) \] \[ D = (1080, 600, 9) \] Vậy tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là \( D(1080, 600, 9) \). Cuối cùng, ta tính tổng \( x + y + z \): \[ x + y + z = 1080 + 600 + 9 = 1689 \] Đáp số: \( x + y + z = 1689 \) Câu 5. Để tìm khoảng thời gian mà nồng độ của thuốc trong máu đang tăng, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( C(x) \) và tìm các điểm cực đại hoặc cực tiểu của nó. Bước 1: Tính đạo hàm của \( C(x) \). \[ C(x) = \frac{30x}{x^2 + 3} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ C'(x) = \frac{(30)(x^2 + 3) - (30x)(2x)}{(x^2 + 3)^2} \] \[ C'(x) = \frac{30x^2 + 90 - 60x^2}{(x^2 + 3)^2} \] \[ C'(x) = \frac{-30x^2 + 90}{(x^2 + 3)^2} \] \[ C'(x) = \frac{-30(x^2 - 3)}{(x^2 + 3)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực đại hoặc cực tiểu bằng cách giải phương trình \( C'(x) = 0 \). \[ \frac{-30(x^2 - 3)}{(x^2 + 3)^2} = 0 \] Phương trình này đúng khi: \[ -30(x^2 - 3) = 0 \] \[ x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 = 3 \] \[ x = \sqrt{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{3} \] Vì thời gian \( x \) không thể âm, ta chỉ xét \( x = \sqrt{3} \). Bước 3: Xác định dấu của \( C'(x) \) để biết hàm số tăng hay giảm. - Khi \( x < \sqrt{3} \), \( x^2 - 3 < 0 \), do đó \( C'(x) > 0 \). Vậy hàm số \( C(x) \) tăng trên khoảng \( (0, \sqrt{3}) \). - Khi \( x > \sqrt{3} \), \( x^2 - 3 > 0 \), do đó \( C'(x) < 0 \). Vậy hàm số \( C(x) \) giảm trên khoảng \( (\sqrt{3}, +\infty) \). Do đó, nồng độ của thuốc trong máu đang tăng trong khoảng thời gian từ 0 đến \( \sqrt{3} \) phút. Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của \( C(x) \) trong khoảng thời gian 6 phút. Ta đã biết rằng \( C(x) \) đạt cực đại tại \( x = \sqrt{3} \). Ta tính \( C(\sqrt{3}) \): \[ C(\sqrt{3}) = \frac{30 \cdot \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 3} \] \[ C(\sqrt{3}) = \frac{30 \cdot \sqrt{3}}{3 + 3} \] \[ C(\sqrt{3}) = \frac{30 \cdot \sqrt{3}}{6} \] \[ C(\sqrt{3}) = 5 \sqrt{3} \approx 8.7 \] Vậy trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm, nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất là 8.7 mg/l. Đáp số: 8.7 mg/l. Câu 6. Để hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{ax^2+1}-bx-2}{x^3-3x+2}$ liên tục tại điểm $x=1$, ta cần tìm giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến 1 và đảm bảo rằng giới hạn này tồn tại và bằng giá trị của hàm số tại điểm đó. Trước tiên, ta tính giới hạn của mẫu số: \[ x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2 + x - 2) = (x-1)^2(x+2) \] Do đó, ta có: \[ f(x) = \frac{\sqrt{ax^2+1} - bx - 2}{(x-1)^2(x+2)} \] Để hàm số liên tục tại $x=1$, giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến 1 phải tồn tại và bằng $f(1)$. Ta sẽ tính giới hạn này bằng cách nhân lượng liên hợp ở tử số: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{ax^2+1} - bx - 2}{(x-1)^2(x+2)} \cdot \frac{\sqrt{ax^2+1} + bx + 2}{\sqrt{ax^2+1} + bx + 2} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{(ax^2 + 1) - (bx + 2)^2}{(x-1)^2(x+2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{ax^2 + 1 - b^2x^2 - 4bx - 4}{(x-1)^2(x+2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{(a - b^2)x^2 - 4bx - 3}{(x-1)^2(x+2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)} \] Để giới hạn tồn tại, tử số phải bằng 0 khi $x = 1$: \[ (a - b^2) \cdot 1^2 - 4b \cdot 1 - 3 = 0 \] \[ a - b^2 - 4b - 3 = 0 \] \[ a = b^2 + 4b + 3 \] Bây giờ, ta thay $a = b^2 + 4b + 3$ vào biểu thức và tính lại giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(b^2 + 4b + 3 - b^2)x^2 - 4bx - 3}{(x-1)^2(x+2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{(4b + 3)x^2 - 4bx - 3}{(x-1)^2(x+2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{(4b + 3)(x^2 - 1) - 4b(x - 1)}{(x-1)^2(x+2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{(4b + 3)(x - 1)(x + 1) - 4b(x - 1)}{(x-1)^2(x+2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)[(4b + 3)(x + 1) - 4b]}{(x-1)^2(x+2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{(4b + 3)(x + 1) - 4b}{(x-1)(x+2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{4bx + 4b + 3x + 3 - 4b}{(x-1)(x+2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{4bx + 3x + 3}{(x-1)(x+2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1} \frac{4b + 3}{(x+2)(\sqrt{ax^2+1} + bx + 2)} \] \[ = \frac{4b + 3}{(1+2)(\sqrt{a \cdot 1^2 + 1} + b \cdot 1 + 2)} \] \[ = \frac{4b + 3}{3(\sqrt{a + 1} + b + 2)} \] Vì $a = b^2 + 4b + 3$, ta có: \[ \sqrt{a + 1} = \sqrt{b^2 + 4b + 4} = b + 2 \] Do đó: \[ f(1) = \frac{4b + 3}{3(b + 2 + b + 2)} = \frac{4b + 3}{3(2b + 4)} = \frac{4b + 3}{6b + 12} = \frac{4b + 3}{6(b + 2)} \] Vậy giá trị của $f(1)$ là $\frac{4b + 3}{6(b + 2)}$.