Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Chào bạn, tôi sẽ giúp bạn chứng minh tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu và tính bán kính mặt cầu đó theo a, b.

Chứng minh tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu
Để chứng minh tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu, ta cần chứng minh 4 đỉnh A, B, C, D cùng thuộc một mặt cầu.

Xét tam giác ABC và tam giác ABD có:

AB = AC = AD = a
BC = BD = CD = b
Suy ra tam giác ABC = tam giác ABD (c.c.c)

Tương tự, ta có tam giác ABC = tam giác ACD = tam giác ABD

Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh AB, AC, AD.

Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB

Vì O nằm trên đường trung trực của AC nên OA = OC

Vì O nằm trên đường trung trực của AD nên OA = OD

Suy ra OA = OB = OC = OD

Vậy 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc mặt cầu tâm O, bán kính OA.

Tính bán kính mặt cầu
Gọi I là trung điểm của BC.

Tam giác ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Suy ra AI ⊥ BC.

Tương tự, ta có AI ⊥ BD và AI ⊥ CD.

Suy ra AI ⊥ (BCD)

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD).

Suy ra H thuộc đường thẳng AI.

Tam giác BCD đều có I là trung điểm BC nên DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Suy ra DI ⊥ BC.

Tương tự, ta có DI ⊥ BD và DI ⊥ CD.

Suy ra DI ⊥ (BCD)

Mà AI ⊥ (BCD) nên H thuộc đường thẳng DI.

Suy ra H là giao điểm của AI và DI.

Vì tam giác BCD đều nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Ta có: R = OA = OB = OC = OD

Tam giác ABI vuông tại I có: AI² + BI² = AB²

Suy ra AI² = a² - (b/2)²

Tam giác ADI vuông tại I có: AD² = AI² + DI²

Suy ra DI² = a² - AI² = a² - (a² - (b/2)²) = (b/2)²

Suy ra DI = b/2

Tam giác AHD vuông tại H có: AD² = AH² + HD²

Mà AH = AI - HI = AI - (AI - R) = R

HD = DI - HI = DI - (AI - R) = b/2 - (√(a² - (b/2)²) - R)

Suy ra a² = R² + (b/2 - (√(a² - (b/2)²) - R))²

Giải phương trình trên ta được: R = (4a² - b²) / (8√(a² - b²/4))