chứng minh a⁵+b⁵+c⁵ chia hết cho 30

Để chứng minh rằng \(a^5 + b^5 + c^5\) chia hết cho 30, ta sẽ chứng minh nó chia hết cho 2, 3 và 5. Bước 1: Chứng minh \(a^5 + b^5 + c^5\) chia hết cho 2 - Nếu \(a, b, c\) đều là số chẵn hoặc lẻ, thì \(a^5, b^5, c^5\) cũng sẽ là số chẵn hoặc lẻ tương ứng. Tổng của ba số chẵn hoặc ba số lẻ là số chẵn, do đó chia hết cho 2. - Nếu trong ba số \(a, b, c\) có một số chẵn và hai số lẻ, hoặc ngược lại, tổng của chúng vẫn là số chẵn, do đó chia hết cho 2. Bước 2: Chứng minh \(a^5 + b^5 + c^5\) chia hết cho 3 - Ta xét các trường hợp của \(a, b, c\) theo modulo 3: - \(a \equiv 0 \pmod{3}\): \(a^5 \equiv 0 \pmod{3}\) - \(a \equiv 1 \pmod{3}\): \(a^5 \equiv 1 \pmod{3}\) - \(a \equiv 2 \pmod{3}\): \(a^5 \equiv 2^5 \equiv 32 \equiv 2 \pmod{3}\) Tương tự cho \(b\) và \(c\). Tổng của ba số này sẽ là: - \(0 + 0 + 0 \equiv 0 \pmod{3}\) - \(0 + 1 + 2 \equiv 0 \pmod{3}\) - \(1 + 1 + 1 \equiv 0 \pmod{3}\) - \(2 + 2 + 2 \equiv 0 \pmod{3}\) Như vậy, \(a^5 + b^5 + c^5\) luôn chia hết cho 3. Bước 3: Chứng minh \(a^5 + b^5 + c^5\) chia hết cho 5 - Ta xét các trường hợp của \(a, b, c\) theo modulo 5: - \(a \equiv 0 \pmod{5}\): \(a^5 \equiv 0 \pmod{5}\) - \(a \equiv 1 \pmod{5}\): \(a^5 \equiv 1 \pmod{5}\) - \(a \equiv 2 \pmod{5}\): \(a^5 \equiv 2^5 \equiv 32 \equiv 2 \pmod{5}\) - \(a \equiv 3 \pmod{5}\): \(a^5 \equiv 3^5 \equiv 243 \equiv 3 \pmod{5}\) - \(a \equiv 4 \pmod{5}\): \(a^5 \equiv 4^5 \equiv 1024 \equiv 4 \pmod{5}\) Tương tự cho \(b\) và \(c\). Tổng của ba số này sẽ là: - \(0 + 0 + 0 \equiv 0 \pmod{5}\) - \(0 + 1 + 4 \equiv 0 \pmod{5}\) - \(1 + 1 + 1 \equiv 0 \pmod{5}\) - \(2 + 2 + 2 \equiv 0 \pmod{5}\) - \(3 + 3 + 3 \equiv 0 \pmod{5}\) - \(4 + 4 + 4 \equiv 0 \pmod{5}\) Như vậy, \(a^5 + b^5 + c^5\) luôn chia hết cho 5. Kết luận Vì \(a^5 + b^5 + c^5\) chia hết cho 2, 3 và 5, nên nó chia hết cho 30.