Câu 7.
Để tính góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định trung điểm M của cạnh đáy AB.
2. Xác định trung điểm N của cạnh đáy CD.
3. Xác định giao điểm O của đường thẳng MN và đường thẳng AC.
Trong tam giác vuông SOM, ta có:
Trong tam giác vuông SOA, ta có:
Ta biết rằng:
Áp dụng công thức tính cos trong tam giác vuông:
Từ đây, ta có:
Do đó:
Sử dụng máy tính để tìm góc:
Góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB là:
Vậy góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp là:
Đáp án đúng là: A. 58°19'.
Câu 8.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tứ diện và các công thức liên quan đến khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian.
1. Xác định các điểm và đoạn thẳng:
- Tứ diện ABCD có .
- M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
- .
2. Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD:
- Ta sẽ sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo trong không gian.
3. Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo được tính bằng công thức:
Trong đó:
- là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
- là vectơ chỉ phương của đường thẳng CD.
- là vectơ nối một điểm trên đường thẳng AB với một điểm trên đường thẳng CD.
4. Xác định các vectơ:
-
-
-
5. Tính vectơ :
- Vì M và N là trung điểm của AD và BC, ta có:
- Do đó:
6. Tính khoảng cách :
- Ta biết rằng .
- Vì , ta có thể suy ra rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là .
7. Tính góc giữa hai đường thẳng:
- Ta sử dụng công thức:
- Vì , ta có:
- Ta cũng biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng là , do đó:
- Từ đây, ta suy ra:
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là .
Đáp án đúng là:
Câu 9.
Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong tứ diện OABC, OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC. Điều này có nghĩa là OABC là một tứ diện đều với ba cạnh OA, OB, OC bằng nhau và vuông góc với nhau.
Gọi M là trung điểm của BC. Ta sẽ tìm góc giữa hai đường thẳng OM và AB.
1. Tìm tọa độ các điểm:
- Gọi O là gốc tọa độ (0, 0, 0).
- Gọi A là (a, 0, 0).
- Gọi B là (0, a, 0).
- Gọi C là (0, 0, a).
2. Tìm tọa độ của M:
- M là trung điểm của BC, nên tọa độ của M là:
3. Tìm vectơ OM và AB:
- Vectơ OM:
- Vectơ AB:
4. Tính tích vô hướng OM và AB:
5. Tính độ dài của OM và AB:
- Độ dài OM:
- Độ dài AB:
6. Tính cosin của góc giữa OM và AB:
7. Tìm góc θ:
Vậy góc giữa hai đường thẳng OM và AB là .
Đáp án đúng là: .
Câu 10.
Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh đều bằng nhau và các góc đều là góc vuông. Ta sẽ xét vị trí của các đường thẳng AM và BC'.
- Điểm M là trung điểm của cạnh BB', do đó M nằm chính giữa BB'.
- Đường thẳng AM đi qua đỉnh A và trung điểm M của BB'.
- Đường thẳng BC' đi qua đỉnh B và đỉnh C' của mặt bên BCC'B'.
Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng AM và BC'. Để làm điều này, ta có thể sử dụng tính chất của hình lập phương và các góc vuông.
Xét tam giác ABC':
- Tam giác ABC' là tam giác vuông tại B vì góc ABC' là góc vuông (do tính chất của hình lập phương).
Xét tam giác ABM:
- Tam giác ABM cũng là tam giác vuông tại B vì M là trung điểm của BB' và BB' vuông góc với mặt đáy ABCD.
Do đó, ta có:
- Góc giữa AM và BC' sẽ là góc giữa hai đường thẳng trong không gian, và do tính chất của hình lập phương, ta có thể suy ra rằng góc giữa AM và BC' là góc vuông (90°).
Vậy góc giữa hai đường thẳng AM và BC' là:
Đáp án đúng là: B. 90°.
Câu 11.
(a) Mệnh đề "BD // B'D'" là sai vì BD và B'D' không nằm trên cùng một mặt phẳng và không song song với nhau.
(b) Mệnh đề "" là đúng vì AC và B'D' là hai đường chéo của hai mặt phẳng vuông góc với nhau trong hình lập phương.
(c) Mệnh đề "Tam giác ACD' đều" là đúng vì trong hình lập phương, tam giác ACD' là tam giác đều do các cạnh AD', CD' và AC đều bằng nhau.
(d) Mệnh đề "" là sai vì góc giữa AC và A'B không phải là 30 độ. Thực tế, góc này là 45 độ.
Đáp án:
(a) Sai
(b) Đúng
(c) Đúng
(d) Sai
Câu 12.
Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD. Vì ABCD là hình thoi nên AC và BD là hai đường chéo của hình thoi, chúng cắt nhau tại O và vuông góc với nhau.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD.
(a) MN // BD:
- Ta có M là trung điểm của SB và N là trung điểm của SD. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác SBD. Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, MN song song với BD. Vậy mệnh đề này đúng.
(b) MN và AC là hai đường thẳng chéo nhau:
- MN song song với BD, và BD nằm trong mặt phẳng (ABCD). AC cũng nằm trong mặt phẳng (ABCD) và cắt BD tại O. Vì MN song song với BD, nên MN sẽ không cắt AC. Do đó, MN và AC không thể là hai đường thẳng chéo nhau. Vậy mệnh đề này sai.
(c) :
- Vì ABCD là hình thoi, AC và BD là hai đường chéo của hình thoi, chúng cắt nhau tại O và vuông góc với nhau. Vậy mệnh đề này đúng.
(d) :
- MN song song với BD, và BD vuông góc với AC. Do đó, MN cũng vuông góc với AC. Vậy góc giữa MN và AC là 90°. Vậy mệnh đề này đúng.
Kết luận:
- Mệnh đề (a) đúng.
- Mệnh đề (b) sai.
- Mệnh đề (c) đúng.
- Mệnh đề (d) đúng.
Đáp án: (a), (c), (d) đúng.