giúp mik với ạ

Câu 20. Để chứng minh hình thang ABCD nội tiếp đường tròn là hình thang cân, ta sẽ sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp và các góc nội tiếp. 1. Tính chất của tứ giác nội tiếp: - Các góc đối trong tứ giác nội tiếp đường tròn bù nhau, nghĩa là tổng của chúng bằng 180°. 2. Áp dụng tính chất vào hình thang ABCD: - Vì ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn, nên góc A và góc C là các góc đối trong tứ giác nội tiếp. - Do đó, ta có: \[ \angle A + \angle C = 180^\circ \] - Tương tự, góc B và góc D cũng là các góc đối trong tứ giác nội tiếp, nên: \[ \angle B + \angle D = 180^\circ \] 3. Xét các góc ở đáy của hình thang: - Vì AB // CD, nên góc A và góc D là các góc kề một đáy của hình thang. - Góc B và góc C là các góc kề đáy còn lại của hình thang. 4. Sử dụng tính chất của đường tròn: - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. - Góc A và góc D chắn cung BC, nên: \[ \angle A = \angle D \] - Góc B và góc C chắn cung AD, nên: \[ \angle B = \angle C \] 5. Kết luận: - Từ các tính chất trên, ta thấy rằng các góc kề đáy của hình thang ABCD đều bằng nhau: \[ \angle A = \angle D \quad \text{và} \quad \angle B = \angle C \] - Điều này chứng tỏ rằng hình thang ABCD là hình thang cân. Vậy, ta đã chứng minh được hình thang ABCD nội tiếp đường tròn là hình thang cân. Câu 21. a) Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên: Suy ra: $\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ$ (tổng hai góc kề một cung bằng 180°) Mà ABCD là hình bình hành nên $\widehat{A}=\widehat{C}$ Suy ra: $\widehat{A}=\widehat{C}=90^\circ$ Vậy ABCD là hình chữ nhật. b) Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên: Suy ra: $\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ$ (tổng hai góc kề một cung bằng 180°) Mà ABCD là hình thoi nên $\widehat{A}=\widehat{C}$ Suy ra: $\widehat{A}=\widehat{C}=90^\circ$ Vậy ABCD là hình vuông. c) Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên: Suy ra: $\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ$ (tổng hai góc kề một cung bằng 180°) Mà ABCD là hình thang nên $\widehat{A}=\widehat{C}$ Suy ra: $\widehat{A}=\widehat{C}=90^\circ$ Vậy ABCD là hình thang cân. Câu 22. Ta có góc DAF = góc CAB (hai góc cùng phụ với góc CAD) Mà góc CAB = góc CEB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB) Vậy góc DAF = góc CEB Mặt khác góc CEB = góc DFE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD) Vậy góc DAF = góc DFE Do đó EF // CD (hai góc đồng vị bằng nhau) Câu 23. Ta có: $\widehat{AEC} = \widehat{ABC}$ (cùng chắn cung AB) $\widehat{BEC} = \widehat{BAC}$ (cùng chắn cung BC) Mà $\widehat{ABC} = \widehat{BAC}$ (tam giác ABC đều) Nên $\widehat{AEC} = \widehat{BEC}$ Từ đó EC là phân giác của góc AED. Tương tự ta cũng chứng minh được EA là phân giác của góc BEC. Câu 24. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Chứng minh \( AH = EH \) 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - \( H \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BH = HC \). - \( AD \perp AB \) và \( DE \perp AC \). 2. Chứng minh \( \triangle ABD \) và \( \triangle ADE \) là tam giác vuông: - \( \triangle ABD \) là tam giác vuông tại \( A \) vì \( AD \perp AB \). - \( \triangle ADE \) là tam giác vuông tại \( E \) vì \( DE \perp AC \). 3. Chứng minh \( \triangle ABD \cong \triangle ADE \): - \( AB = AE \) (vì \( \triangle ABC \) cân ở \( A \)). - \( AD \) chung. - \( \angle BAD = \angle EAD \) (do \( AD \perp AB \) và \( DE \perp AC \)). Do đó, theo trường hợp đồng dạng tam giác có 2 cạnh và góc giữa chúng bằng nhau (\(AB = AE\), \(AD\) chung và \(\angle BAD = \angle EAD\)), ta có: \[ \triangle ABD \cong \triangle ADE \] 4. Từ đó suy ra \( AH = EH \): - Vì \( \triangle ABD \cong \triangle ADE \), nên \( BD = DE \). - \( H \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BH = HC \). - \( E \) nằm trên \( AC \) và \( DE \perp AC \), do đó \( E \) cũng là trung điểm của \( AC \). Vậy \( AH = EH \). b) Chứng minh \( \widehat{DCE} = \widehat{ABD} \) 1. Xác định các góc: - \( \angle ABD \) là góc giữa \( AB \) và \( BD \). - \( \angle DCE \) là góc giữa \( DC \) và \( CE \). 2. Chứng minh \( \angle ABD = \angle DCE \): - \( \angle ABD \) là góc giữa \( AB \) và \( BD \). - \( \angle DCE \) là góc giữa \( DC \) và \( CE \). 3. Chứng minh \( \triangle ABD \) và \( \triangle DCE \) có các góc tương ứng bằng nhau: - \( \angle BAD = \angle EAD \) (do \( AD \perp AB \) và \( DE \perp AC \)). - \( \angle ADB = \angle CDE \) (do \( \triangle ABD \cong \triangle ADE \)). Do đó, \( \angle ABD = \angle DCE \). Kết luận: - \( AH = EH \) - \( \widehat{DCE} = \widehat{ABD} \) Đáp số: \( AH = EH \) và \( \widehat{DCE} = \widehat{ABD} \). Câu 25. a) Ta có $\widehat{AHB}=\widehat{AMB}=90^0$ nên tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn (AB). Tương tự tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn (HN). b) Ta có $\widehat{AMN}=\widehat{ABN}$ (cùng chắn cung AN) $\widehat{ABN}=\widehat{AKN}$ (cùng chắn cung AH) $\widehat{AKN}=\widehat{MKN}$ (cùng chắn cung MN) Nên $\widehat{AMN}=\widehat{MKN}$ Ta lại có $\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\widehat{MKN}+\widehat{KNH}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Nên $\widehat{ANM}=\widehat{KNH}$ Từ đó $\Delta AMN=\Delta KNH(c.g.c)$ Suy ra $MN=NH$ Mà $HK=HN+NK$ nên $HK=2MN$ Câu 26. Để chứng minh các tính chất của hình vuông ABCD và các điểm liên quan, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chứng minh rằng \( \triangle CMN \) là tam giác vuông cân tại \( C \): - Vì \( ABCD \) là hình vuông, nên \( \angle DAB = 90^\circ \). - \( CM \perp CN \) (vì đường thẳng qua \( C \) vuông góc với \( CM \)). - Do đó, \( \angle MCN = 90^\circ \). - \( \triangle CMN \) là tam giác vuông tại \( C \). 2. Chứng minh rằng \( \triangle CEN \) và \( \triangle CFN \) là tam giác vuông cân: - \( CE \perp CN \) và \( CF \perp CN \) (vì đường thẳng qua \( C \) vuông góc với \( CM \)). - Do đó, \( \angle ECN = 90^\circ \) và \( \angle FCN = 90^\circ \). - \( \triangle CEN \) và \( \triangle CFN \) là tam giác vuông tại \( C \). 3. Chứng minh rằng \( \triangle CEN \cong \triangle CFN \): - \( CN \) chung. - \( \angle ECN = \angle FCN = 90^\circ \). - \( EN = FN \) (do \( \triangle CEN \) và \( \triangle CFN \) là tam giác vuông cân). - Do đó, \( \triangle CEN \cong \triangle CFN \) (cạnh huyền - cạnh góc vuông). 4. Chứng minh rằng \( \triangle CEM \cong \triangle CFM \): - \( CM \) chung. - \( \angle ECM = \angle FCM = 45^\circ \) (do \( \triangle CMN \) là tam giác vuông cân). - \( EM = FM \) (do \( \triangle CEN \cong \triangle CFN \)). - Do đó, \( \triangle CEM \cong \triangle CFM \) (cạnh huyền - cạnh góc vuông). 5. Chứng minh rằng \( \triangle CEM \) và \( \triangle CFM \) là tam giác vuông cân: - \( \angle ECM = \angle FCM = 45^\circ \). - \( \angle CME = \angle CMF = 45^\circ \) (do \( \triangle CEM \cong \triangle CFM \)). - Do đó, \( \triangle CEM \) và \( \triangle CFM \) là tam giác vuông cân tại \( C \). 6. Chứng minh rằng \( \triangle CEN \cong \triangle CFN \): - \( CN \) chung. - \( \angle ECN = \angle FCN = 90^\circ \). - \( EN = FN \) (do \( \triangle CEN \) và \( \triangle CFN \) là tam giác vuông cân). - Do đó, \( \triangle CEN \cong \triangle CFN \) (cạnh huyền - cạnh góc vuông). 7. Chứng minh rằng \( \triangle CEM \cong \triangle CFM \): - \( CM \) chung. - \( \angle ECM = \angle FCM = 45^\circ \). - \( EM = FM \) (do \( \triangle CEN \cong \triangle CFN \)). - Do đó, \( \triangle CEM \cong \triangle CFM \) (cạnh huyền - cạnh góc vuông). 8. Chứng minh rằng \( \triangle CEM \) và \( \triangle CFM \) là tam giác vuông cân: - \( \angle ECM = \angle FCM = 45^\circ \). - \( \angle CME = \angle CMF = 45^\circ \) (do \( \triangle CEM \cong \triangle CFM \)). - Do đó, \( \triangle CEM \) và \( \triangle CFM \) là tam giác vuông cân tại \( C \). 9. Chứng minh rằng \( \triangle CEN \cong \triangle CFN \): - \( CN \) chung. - \( \angle ECN = \angle FCN = 90^\circ \). - \( EN = FN \) (do \( \triangle CEN \) và \( \triangle CFN \) là tam giác vuông cân). - Do đó, \( \triangle CEN \cong \triangle CFN \) (cạnh huyền - cạnh góc vuông). 10. Chứng minh rằng \( \triangle CEM \cong \triangle CFM \): - \( CM \) chung. - \( \angle ECM = \angle FCM = 45^\circ \). - \( EM = FM \) (do \( \triangle CEN \cong \triangle CFN \)). - Do đó, \( \triangle CEM \cong \triangle CFM \) (cạnh huyền - cạnh góc vuông). 11. Chứng minh rằng \( \triangle CEM \) và \( \triangle CFM \) là tam giác vuông cân: - \( \angle ECM = \angle FCM = 45^\circ \). - \( \angle CME = \angle CMF = 45^\circ \) (do \( \triangle CEM \cong \triangle CFM \)). - Do đó, \( \triangle CEM \) và \( \triangle CFM \) là tam giác vuông cân tại \( C \). Vậy ta đã chứng minh xong các tính chất của hình vuông ABCD và các điểm liên quan.