Câu 1:
Để xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa.
A.
Theo tính chất của lũy thừa, . Do đó, mệnh đề này sai vì .
B.
Theo tính chất của lũy thừa, . Do đó, mệnh đề này sai vì .
C.
Theo tính chất của lũy thừa, . Do đó, mệnh đề này sai vì .
D.
Theo tính chất của lũy thừa, . Do đó, mệnh đề này đúng.
Vậy, mệnh đề đúng là:
D.
Đáp án: D.
Câu 2:
Ta có:
Để biến đổi biểu thức này, ta sử dụng tính chất của lũy thừa và căn bậc bốn:
Do đó:
Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ sở:
Vậy biểu thức bằng .
Đáp án đúng là: D.
Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, biểu thức không xuất hiện. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn trong việc so sánh với các đáp án đã cho. Đáp án đúng theo yêu cầu của đề bài là .
Câu 3:
Để biểu diễn biểu thức dưới dạng lũy thừa số mũ hữu tỉ, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Biểu diễn căn bậc hai và căn bậc bốn dưới dạng lũy thừa:
Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu:
Bước 3: Cộng số mũ ở phần trong dấu căn:
Bước 4: Thay vào biểu thức:
Bước 5: Biểu diễn căn bậc hai dưới dạng lũy thừa:
Do đó, biểu thức được biểu diễn dưới dạng lũy thừa số mũ hữu tỉ là:
Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án đúng là . Vì vậy, có thể có lỗi trong việc soạn thảo hoặc lựa chọn đáp án. Tuy nhiên, theo các bước trên, đáp án đúng là .
Đáp án:
Câu 4:
Để viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Viết các căn thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ:
-
-
-
Bước 2: Nhân các lũy thừa với cùng cơ số:
Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa với cùng cơ số:
Bước 4: Tính tổng các số mũ:
Vậy biểu thức viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là:
Do đó, đáp án đúng là:
D. (sai, vì đáp án đúng là ).
Câu 5:
Để viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ sở:
Bây giờ, ta cộng các số mũ lại với nhau:
Để cộng hai phân số này, ta quy đồng mẫu số:
Do đó:
Vậy biểu thức ban đầu trở thành:
Tuy nhiên, ta thấy rằng trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với . Do đó, ta kiểm tra lại các phép tính và nhận thấy rằng có thể có lỗi trong việc quy đồng hoặc cộng các phân số. Ta thử lại:
Như vậy, ta thấy rằng có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án đã cho. Tuy nhiên, nếu ta dựa vào các đáp án đã cho, ta thấy rằng:
Vậy đáp án đúng là:
B.
Đáp án: B.
Câu 6:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là đúng.
A.
- Vì , nên (vì lũy thừa của một số lớn hơn 1 tăng dần theo mũ).
- Do đó, (vì khi mẫu số tăng thì phân số giảm).
B.
- Ta có thể viết lại dưới dạng .
- So sánh và , ta thấy .
- Vì , nên (lũy thừa của một số lớn hơn 1 tăng dần theo mũ).
C.
- Đây là một mệnh đề hiển nhiên sai vì hai vế giống nhau.
D.
- Ta có thể viết lại dưới dạng .
- So sánh và 1, ta thấy .
- Vì , nên (lũy thừa của một số lớn hơn 1 tăng dần theo mũ).
Từ các phân tích trên, ta thấy rằng tất cả các mệnh đề đều sai ngoại trừ mệnh đề A, nhưng thực tế mệnh đề A cũng sai như đã chứng minh ở trên. Do đó, không có mệnh đề nào trong các lựa chọn là đúng.
Đáp án: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn.
Câu 7:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của lôgarit và số mũ.
Bước 1: Xác định điều kiện của bài toán:
- và là hai số thực dương.
- .
Bước 2: Áp dụng tính chất của lôgarit và số mũ:
Ta biết rằng . Do đó, ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng:
Bước 3: Kết luận:
Giá trị của là .
Vậy đáp án đúng là:
D. .
Câu 8:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để đơn giản hóa biểu thức .
Bước 1: Áp dụng công thức :
Bước 2: Áp dụng công thức một lần nữa:
Bước 3: Áp dụng công thức :
Bước 4: Thay vào biểu thức:
Vậy giá trị của biểu thức là .
Đáp án đúng là: C. .
Câu 9:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định giá trị của từ phương trình .
Bước 2: Chuyển đổi phương trình logarit sang dạng số mũ.
Bước 3: Tính giá trị của .
Bước 4: Bình phương cả hai vế để tìm giá trị của .
Bước 5: Tính giá trị của .
Bước 6: Áp dụng công thức .
Bước 7: Áp dụng công thức .
Vậy giá trị của là .
Đáp án đúng là: D. .
Câu 10:
Để tính giá trị của biểu thức , ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit.
Trước tiên, ta biết rằng:
Áp dụng tính chất logarit , ta có:
Thay vào biểu thức ban đầu, ta được:
Theo đề bài, ta có:
Do đó:
Vậy đáp án đúng là:
D.
Đáp số:
Câu 11:
Để tính , ta sẽ sử dụng các tính chất của lôgarit tự nhiên (logarit cơ số e).
Bước 1: Áp dụng tính chất lôgarit của thương:
Bước 2: Áp dụng tính chất lôgarit của lũy thừa:
Bước 3: Thay các kết quả trên vào biểu thức ban đầu:
Vậy, bằng .