Giải bài tập câu 17 18 19 20 21 + nn coo ruuuu nam ưa vvo s ddụgg ii trị cca áy hhông qáá 50%sso với banđđuu,Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh,BC và C'D'. Giả sử $\frac{BC}{AB}=k.$ Tìm k để AM vuông góc với B'N .,Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a,~AD=2a.$ Cạnh bên,SA vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{15}.$ Tính góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD).,D. Câu hỏi - Trả lời tự luận (03 điểm),Câu 19: Giải phương trình $(2x^2-5x+2)[\log_x(7x-6)-2]=0.$,Câu 20: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh $AB=4a,~AD=3a.$ Các,cạnh bên đều có độ dài 5a . Tính góc nhị diện $[S,BC,O].$,Câu 21: Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x+2}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu phương trình tiếp tuyến d của đồ thị,(C) biết tiếp tuyến d song song với đường thẳng $y=5x-2?$,----- Hết -----

Question

Giải bài tập câu 17 18 19 20 21 +  nn  coo ruuuu nam  ưa vvo  s ddụgg  ii trị cca  áy  hhông qáá 50%sso với banđđuu,Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh,BC và C'D'. Giả sử $\frac{BC}{AB}=k.$ Tìm k để AM vuông góc với B'N .,Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a,~AD=2a.$ Cạnh bên,SA vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{15}.$ Tính góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD).,D. Câu hỏi - Trả lời tự luận (03 điểm),Câu 19: Giải phương trình $(2x^2-5x+2)[\log_x(7x-6)-2]=0.$,Câu 20: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh $AB=4a,~AD=3a.$ Các,cạnh bên đều có độ dài 5a . Tính góc nhị diện $[S,BC,O].$,Câu 21: Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x+2}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu phương trình tiếp tuyến d của đồ thị,(C) biết tiếp tuyến d song song với đường thẳng $y=5x-2?$,----- Hết -----

Accepted Answer

Câu 17:
Để tìm giá trị của $ k $ sao cho $ AM $ vuông góc với $ B'N $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các điểm:
   - Gọi $ A(0, 0, 0) $, $ B(a, 0, 0) $, $ C(a, b, 0) $, $ D(0, b, 0) $, $ A'(0, 0, c) $, $ B'(a, 0, c) $, $ C'(a, b, c) $, $ D'(0, b, c) $.
   - Trung điểm $ M $ của $ BC $ là $ M\left(a, \frac{b}{2}, 0\right) $.
   - Trung điểm $ N $ của $ C'D' $ là $ N\left(\frac{a}{2}, b, c\right) $.

2. Tìm vectơ $ \overrightarrow{AM} $ và $ \overrightarrow{B'N} $:
   - $ \overrightarrow{AM} = M - A = \left(a, \frac{b}{2}, 0\right) $.
   - $ \overrightarrow{B'N} = N - B' = \left(\frac{a}{2} - a, b - 0, c - c\right) = \left(-\frac{a}{2}, b, 0\right) $.

3. Điều kiện vuông góc:
   - $ AM $ vuông góc với $ B'N $ khi tích vô hướng của hai vectơ này bằng 0:
     $$
     \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{B'N} = 0
     $$
   - Tính tích vô hướng:
     $$
     \left(a, \frac{b}{2}, 0\right) \cdot \left(-\frac{a}{2}, b, 0\right) = a \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + \frac{b}{2} \cdot b + 0 \cdot 0 = -\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2}
     $$
   - Đặt điều kiện:
     $$
     -\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} = 0 \implies -a^2 + b^2 = 0 \implies b^2 = a^2 \implies b = a \text{ hoặc } b = -a
     $$

4. Xác định giá trị của $ k $:
   - Ta biết rằng $ \frac{BC}{AB} = k $. Vì $ BC = b $ và $ AB = a $, nên:
     $$
     k = \frac{b}{a}
     $$
   - Từ $ b = a $ hoặc $ b = -a $, ta có:
     $$
     k = 1 \text{ hoặc } k = -1
     $$

Vậy giá trị của $ k $ để $ AM $ vuông góc với $ B'N $ là $ k = 1 $ hoặc $ k = -1 $.

Câu 18:
Để tính góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD), ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD:
   Vì SA vuông góc với đáy ABCD, nên SA chính là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD.

2. Tìm điểm chính giữa của đáy ABCD:
   Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Ta có:
   - O là giao điểm của các đường chéo AC và BD.
   - O cũng là trung điểm của cả hai đường chéo này.

3. Tính khoảng cách từ S đến O:
   Vì O là trung điểm của AC và BD, ta có:
   - OA = OC = OB = OD = $\frac{\sqrt{AB^2 + AD^2}}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + (2a)^2}}{2} = \frac{\sqrt{5a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

4. Tính khoảng cách từ S đến C:
   Vì SA vuông góc với đáy ABCD, ta có:
   - SC = $\sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{15})^2 + (2a)^2} = \sqrt{15a^2 + 4a^2} = \sqrt{19a^2} = a\sqrt{19}$

5. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD):
   Gọi góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là $\theta$. Ta có:
   - $\sin(\theta) = \frac{SA}{SC} = \frac{a\sqrt{15}}{a\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{19}} = \sqrt{\frac{15}{19}}$

6. Kết luận:
   Góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) là $\theta$ sao cho $\sin(\theta) = \sqrt{\frac{15}{19}}$.

Đáp số: $\theta = \arcsin\left(\sqrt{\frac{15}{19}}\right)$

Câu 19:
Điều kiện xác định: $x>0, x \neq 1$ và $7x - 6 > 0$. Suy ra $x > \frac{6}{7}, x \neq 1$.

Phương trình đã cho tương đương với:
$(2x^2 - 5x + 2)(\log_x(7x - 6) - 2) = 0$

Ta xét hai trường hợp:

1. $2x^2 - 5x + 2 = 0$
   Giải phương trình bậc hai này:
   $2x^2 - 5x + 2 = 0$
   Tính $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
   $\sqrt{\Delta} = 3$
   Vậy phương trình có hai nghiệm:
   $x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2$
   $x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$

Kiểm tra điều kiện xác định:
   - $x = 2$: Thỏa mãn điều kiện $x > \frac{6}{7}$ và $x \neq 1$.
   - $x = \frac{1}{2}$: Không thỏa mãn điều kiện $7x - 6 > 0$ vì $7 \cdot \frac{1}{2} - 6 = \frac{7}{2} - 6 = -\frac{5}{2} < 0$.

Vậy nghiệm duy nhất từ trường hợp này là $x = 2$.

2. $\log_x(7x - 6) - 2 = 0$
   Điều này tương đương với:
   $\log_x(7x - 6) = 2$
   Đổi về dạng mũ:
   $7x - 6 = x^2$
   Sắp xếp lại phương trình:
   $x^2 - 7x + 6 = 0$
   Giải phương trình bậc hai này:
   $x^2 - 7x + 6 = 0$
   Tính $\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$
   $\sqrt{\Delta} = 5$
   Vậy phương trình có hai nghiệm:
   $x_1 = \frac{7 + 5}{2} = 6$
   $x_2 = \frac{7 - 5}{2} = 1$

Kiểm tra điều kiện xác định:
   - $x = 6$: Thỏa mãn điều kiện $x > \frac{6}{7}$ và $x \neq 1$.
   - $x = 1$: Không thỏa mãn điều kiện $x \neq 1$.

Vậy nghiệm duy nhất từ trường hợp này là $x = 6$.

Tóm lại, các nghiệm của phương trình là $x = 2$ hoặc $x = 6$.

Câu 20:
Để tính góc nhị diện $[S,BC,O]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm O của đáy ABCD:
   Vì đáy ABCD là hình chữ nhật, tâm O của đáy sẽ là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

2. Tính khoảng cách từ S đến mặt đáy ABCD:
   Ta hạ đường cao SH từ đỉnh S vuông góc với đáy ABCD tại H. Vì đáy là hình chữ nhật nên H sẽ trùng với tâm O của đáy.

3. Tính khoảng cách SO:
   Ta biết rằng SO là khoảng cách từ đỉnh S đến tâm O của đáy ABCD. Ta sử dụng công thức tính khoảng cách từ đỉnh đến tâm đáy của hình chóp đều:
   $$
   SO = \sqrt{SA^2 - OA^2}
   $$
   Trong đó, SA = 5a và OA là bán kính của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Vì ABCD là hình chữ nhật, đường tròn ngoại tiếp có bán kính:
   $$
   OA = \frac{\sqrt{AB^2 + AD^2}}{2} = \frac{\sqrt{(4a)^2 + (3a)^2}}{2} = \frac{\sqrt{16a^2 + 9a^2}}{2} = \frac{\sqrt{25a^2}}{2} = \frac{5a}{2}
   $$
   Vậy:
   $$
   SO = \sqrt{(5a)^2 - \left(\frac{5a}{2}\right)^2} = \sqrt{25a^2 - \frac{25a^2}{4}} = \sqrt{\frac{100a^2 - 25a^2}{4}} = \sqrt{\frac{75a^2}{4}} = \frac{5a\sqrt{3}}{2}
   $$

4. Tính góc giữa SO và mặt đáy ABCD:
   Gọi góc giữa SO và mặt đáy ABCD là $\theta$. Ta có:
   $$
   \sin \theta = \frac{SO}{SA} = \frac{\frac{5a\sqrt{3}}{2}}{5a} = \frac{\sqrt{3}}{2}
   $$
   Vậy:
   $$
   \theta = \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 60^\circ
   $$

5. Tính góc nhị diện $[S,BC,O]$:
   Góc nhị diện $[S,BC,O]$ là góc giữa hai mặt phẳng SBC và BCO. Vì SO vuông góc với đáy ABCD, góc này chính là góc giữa SO và mặt phẳng BCO, tức là góc $\theta$ đã tính ở trên.

Vậy góc nhị diện $[S,BC,O]$ là $60^\circ$.

Câu 21:
Để tìm số lượng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y = \frac{x-3}{x+2} $ song song với đường thẳng $ y = 5x - 2 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = \left( \frac{x-3}{x+2} \right)' = \frac{(x+2) \cdot 1 - (x-3) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x + 2 - x + 3}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}
   $$

2. Xác định điều kiện để tiếp tuyến song song với đường thẳng $ y = 5x - 2 $:
   Tiếp tuyến song song với đường thẳng $ y = 5x - 2 $ khi hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5. Do đó:
   $$
   y' = 5
   $$
   Thay vào đạo hàm đã tìm được:
   $$
   \frac{5}{(x+2)^2} = 5
   $$
   Giải phương trình này:
   $$
   \frac{5}{(x+2)^2} = 5 \implies (x+2)^2 = 1 \implies x + 2 = \pm 1
   $$
   Từ đây, ta có hai giá trị của $ x $:
   $$
   x + 2 = 1 \implies x = -1
   $$
   $$
   x + 2 = -1 \implies x = -3
   $$

3. Tìm tọa độ các điểm trên đồ thị (C) ứng với các giá trị $ x = -1 $ và $ x = -3 $:
   - Với $ x = -1 $:
     $$
     y = \frac{-1 - 3}{-1 + 2} = \frac{-4}{1} = -4
     $$
     Điểm là $ (-1, -4) $.

- Với $ x = -3 $:
     $$
     y = \frac{-3 - 3}{-3 + 2} = \frac{-6}{-1} = 6
     $$
     Điểm là $ (-3, 6) $.

4. Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm này:
   - Tại điểm $ (-1, -4) $:
     $$
     y = 5(x + 1) - 4 = 5x + 5 - 4 = 5x + 1
     $$
     Phương trình tiếp tuyến là $ y = 5x + 1 $.

- Tại điểm $ (-3, 6) $:
     $$
     y = 5(x + 3) + 6 = 5x + 15 + 6 = 5x + 21
     $$
     Phương trình tiếp tuyến là $ y = 5x + 21 $.

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng $ y = 5x - 2 $.

Đáp số: 2 phương trình tiếp tuyến.