làm bài họ cái hjsjsnx Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh,$a,SA\bot(ABC)$ và $SA=2a.$ Tính góc phẳng nhị diện [A,sC,B]?,Câu 4. Cho tứ diện S.ABC trong đó SA,SB,sC vuông góc với,nhau từng đôi một và $SA=3a,SB=a,SC=2a$ Tính khoảng cách từ A,đến đường thẳng BC .

Question

Accepted Answer

Câu 3.
Để tính góc phẳng nhị diện [A, sC, B], ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định trực tâm của tam giác ABC:
   Vì đáy ABC là tam giác đều, trực tâm H của tam giác ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có:
   $$
   AH = \frac{a\sqrt{3}}{3}
   $$

2. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC):
   Vì SA ⊥ (ABC), khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là SA = 2a.

3. Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng BC:
   Vì SA ⊥ (ABC), khoảng cách từ S đến đường thẳng BC là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC trong tam giác ABC. Ta có:
   $$
   d(S, BC) = \frac{a\sqrt{3}}{2}
   $$

4. Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng AC:
   Vì SA ⊥ (ABC), khoảng cách từ S đến đường thẳng AC là khoảng cách từ A đến đường thẳng AC trong tam giác ABC. Ta có:
   $$
   d(S, AC) = \frac{a\sqrt{3}}{2}
   $$

5. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC):
   Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) là góc giữa SA và hình chiếu của SA lên (ABC). Ta có:
   $$
   \sin(\angle ASH) = \frac{SA}{SH} = \frac{2a}{\sqrt{(2a)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}} = \frac{2a}{\sqrt{4a^2 + \frac{a^2}{3}}} = \frac{2a}{\sqrt{\frac{13a^2}{3}}} = \frac{2a}{\frac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}
   $$
   Do đó:
   $$
   \cos(\angle ASH) = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{12}{13}} = \sqrt{\frac{1}{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}
   $$

6. Tính góc phẳng nhị diện [A, sC, B]:
   Góc phẳng nhị diện [A, sC, B] là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Ta có:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{d(S, AC) \cdot d(S, BC)}{d(S, AC) \cdot d(S, BC)} = \frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)} = 1
   $$
   Do đó:
   $$
   \theta = \arccos(1) = 0^\circ
   $$

Vậy góc phẳng nhị diện [A, sC, B] là 0°.

Câu 4.
Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC trong tứ diện S.ABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm diện tích tam giác ABC:
   - Xác định độ dài các cạnh của tam giác ABC:
     - $ AB = \sqrt{SA^2 + SB^2} = \sqrt{(3a)^2 + a^2} = \sqrt{9a^2 + a^2} = \sqrt{10a^2} = a\sqrt{10} $
     - $ AC = \sqrt{SA^2 + SC^2} = \sqrt{(3a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{9a^2 + 4a^2} = \sqrt{13a^2} = a\sqrt{13} $
     - $ BC = \sqrt{SB^2 + SC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} $

- Diện tích tam giác ABC sử dụng công thức Heron:
     - Bán kính nửa chu vi $ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{a\sqrt{10} + a\sqrt{13} + a\sqrt{5}}{2} = \frac{a(\sqrt{10} + \sqrt{13} + \sqrt{5})}{2} $
     - Diện tích $ S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} $

2. Tính thể tích khối chóp S.ABC:
   - Thể tích khối chóp $ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times SA \times SB \times SC = \frac{1}{3} \times 3a \times a \times 2a = 2a^3 $

3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC):
   - Diện tích tam giác SBC:
     - $ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times SC = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2 $
   - Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC):
     - $ d_A(SBC) = \frac{3 \times V_{S.ABC}}{S_{SBC}} = \frac{3 \times 2a^3}{a^2} = 6a $

4. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC:
   - Diện tích tam giác ABC đã tính ở trên.
   - Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC:
     - $ d_A(BC) = \frac{2 \times V_{S.ABC}}{S_{ABC}} = \frac{2 \times 2a^3}{S_{ABC}} $

Do đó, khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là:
$$ d_A(BC) = \frac{2 \times 2a^3}{S_{ABC}} $$

Kết luận: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là $\frac{2 \times 2a^3}{S_{ABC}}$.