cuuu toiii voiii Câu 4. Cho tứ diện S.ABC trong đó SA,SB,sC vuông góc với,nhau từng đôi một và $SA=3a,SB=a,SC=2a.$ Tính khoảng cách từ A,đến đường thẳng BC .

Question

Accepted Answer

Câu 4.
Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC trong tứ diện S.ABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm diện tích tam giác ABC:
   - Xác định độ dài các cạnh của tam giác ABC:
     - $ AB = \sqrt{SA^2 + SB^2} = \sqrt{(3a)^2 + a^2} = \sqrt{9a^2 + a^2} = \sqrt{10a^2} = a\sqrt{10} $
     - $ AC = \sqrt{SA^2 + SC^2} = \sqrt{(3a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{9a^2 + 4a^2} = \sqrt{13a^2} = a\sqrt{13} $
     - $ BC = \sqrt{SB^2 + SC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} $

- Diện tích tam giác ABC sử dụng công thức Heron:
     - Bán kính ngoại tiếp $ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{a\sqrt{10} + a\sqrt{13} + a\sqrt{5}}{2} = \frac{a(\sqrt{10} + \sqrt{13} + \sqrt{5})}{2} $
     - Diện tích $ S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} $

2. Tính thể tích khối chóp S.ABC:
   - Thể tích khối chóp $ V_{S.ABC} = \frac{1}{6} \times SA \times SB \times SC = \frac{1}{6} \times 3a \times a \times 2a = a^3 $

3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC):
   - Diện tích tam giác SBC:
     - $ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times SC = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2 $
   - Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC):
     - $ d_A(SBC) = \frac{3V_{S.ABC}}{S_{SBC}} = \frac{3a^3}{a^2} = 3a $

4. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC:
   - Diện tích tam giác ABC đã tính ở trên.
   - Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC:
     - $ d_A(BC) = \frac{2V_{S.ABC}}{S_{ABC}} = \frac{2a^3}{S_{ABC}} $

Do đó, khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là:
$$ d_A(BC) = \frac{2a^3}{S_{ABC}} $$

Kết luận: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là $\frac{2a^3}{S_{ABC}}$.