Cứu tui.Gấp Sos

Bài 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức Viète để tìm giá trị của biểu thức \(x_1^2 + x_2^2\). Bước 1: Áp dụng công thức Viète cho phương trình \(2x^2 + 3x - 5 = 0\): - Tổng của hai nghiệm: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2}\) - Tích của hai nghiệm: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{2}\) Bước 2: Biểu thức \(x_1^2 + x_2^2\) có thể được viết lại dưới dạng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] Bước 3: Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức: \[ x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 2 \left(\frac{-5}{2}\right) \] \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{9}{4} + 5 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{9}{4} + \frac{20}{4} \] \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{29}{4} \] Vậy giá trị của biểu thức \(x_1^2 + x_2^2\) là \(\frac{29}{4}\). Đáp án đúng là: C. $\frac{29}{4}$. Bài 2. Để phương trình $(m-1)x^2+2(m-1)x+m-3=0$ vô nghiệm, ta cần kiểm tra điều kiện của hệ số $m$. 1. Xét trường hợp $m = 1$: Thay $m = 1$ vào phương trình: \[ (1-1)x^2 + 2(1-1)x + 1 - 3 = 0 \implies 0x^2 + 0x - 2 = 0 \implies -2 = 0 \] Điều này là vô lý, do đó phương trình vô nghiệm khi $m = 1$. 2. Xét trường hợp $m \neq 1$: Phương trình $(m-1)x^2 + 2(m-1)x + m - 3 = 0$ là phương trình bậc hai. Để phương trình vô nghiệm, ta cần: \[ \Delta < 0 \] Trong đó $\Delta$ là biệt thức của phương trình bậc hai: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Với $a = m-1$, $b = 2(m-1)$, $c = m-3$, ta có: \[ \Delta = [2(m-1)]^2 - 4(m-1)(m-3) \] \[ \Delta = 4(m-1)^2 - 4(m-1)(m-3) \] \[ \Delta = 4[(m-1)^2 - (m-1)(m-3)] \] \[ \Delta = 4[m^2 - 2m + 1 - (m^2 - 4m + 3)] \] \[ \Delta = 4[m^2 - 2m + 1 - m^2 + 4m - 3] \] \[ \Delta = 4[2m - 2] \] \[ \Delta = 8(m - 1) \] Để phương trình vô nghiệm, ta cần: \[ 8(m - 1) < 0 \implies m - 1 < 0 \implies m < 1 \] Tóm lại, phương trình $(m-1)x^2 + 2(m-1)x + m - 3 = 0$ vô nghiệm khi $m < 1$. Do đó, đáp án đúng là: A. $m < 1$. Bài 3. Để phương trình $x^2 - (3m + 1)x + m - 5 = 0$ có một nghiệm $x = -1$, ta thay $x = -1$ vào phương trình và giải phương trình theo $m$. Thay $x = -1$ vào phương trình: \[ (-1)^2 - (3m + 1)(-1) + m - 5 = 0 \] Tính toán: \[ 1 + 3m + 1 + m - 5 = 0 \] \[ 1 + 3m + 1 + m - 5 = 0 \] \[ 4m - 3 = 0 \] Giải phương trình này: \[ 4m = 3 \] \[ m = \frac{3}{4} \] Vậy giá trị của $m$ để phương trình có một nghiệm $x = -1$ là $m = \frac{3}{4}$. Đáp án đúng là: D. $m = \frac{3}{4}$. Bài 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai. Phương trình đã cho là: \[ x^2 - \sqrt{3}x - \sqrt{5} = 0 \] Gọi hai nghiệm của phương trình này là \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo công thức Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = \sqrt{3} \] \[ x_1 x_2 = -\sqrt{5} \] Ta cần tìm giá trị của biểu thức: \[ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} \] Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng: \[ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{(x_1 x_2)^2} \] Ta biết rằng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] Thay các giá trị vào: \[ x_1^2 + x_2^2 = (\sqrt{3})^2 - 2(-\sqrt{5}) = 3 + 2\sqrt{5} \] Vậy: \[ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{(-\sqrt{5})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{5} \] Do đó, giá trị của biểu thức là: \[ \frac{3 + 2\sqrt{5}}{5} \] Đáp án đúng là: A. $\frac{3 + 2\sqrt{5}}{5}$