giải hộ tôi 2 bài Câu 1: Một khối cầu có bán kính là 5(dm) , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng,song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3(dm) để làm một chiếc lu đựng,nước (như hình vẽ). Tính thể tích (đơn vị $dm^3)$ mà chiếc lu chứa được, kết quả làm tròn đến hàng, ,đơn vị.,Câu 2: Chướng ngại vật "tường cong" trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ,mặt đất lên là 3,5m . Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $AB=2~m.$ Thiết diện của,khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong,ACE với $AC=4~m,~CE=3,5~m$ và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng,vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao 1m (xem hình,minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó, kết quả làm tròn,đến hàng phần mười.

Question

giải hộ tôi 2 bài Câu 1: Một khối cầu có bán kính là 5(dm) , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng,song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3(dm) để làm một chiếc lu đựng,nước (như hình vẽ). Tính thể tích (đơn vị $dm^3)$ mà chiếc lu chứa được, kết quả làm tròn đến hàng,

,đơn vị.,Câu 2: Chướng ngại vật "tường cong" trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ,mặt đất lên là 3,5m . Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $AB=2~m.$ Thiết diện của,khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong,ACE với $AC=4~m,~CE=3,5~m$ và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng,vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao 1m (xem hình,minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó, kết quả làm tròn,đến hàng phần mười.

Accepted Answer

Câu 1:
Để tính thể tích mà chiếc lu đựng được, chúng ta cần tính thể tích của hai phần bị cắt bỏ từ khối cầu và sau đó trừ đi từ thể tích ban đầu của khối cầu.

Bước 1: Tính thể tích của khối cầu ban đầu.
Thể tích của khối cầu được tính theo công thức:
$$ V_{\text{khoi cau}} = \frac{4}{3} \pi R^3 $$
Trong đó, $ R = 5 \, \text{dm} $.

$$ V_{\text{khoi cau}} = \frac{4}{3} \pi (5)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi \, \text{dm}^3 $$

Bước 2: Tính thể tích của mỗi phần bị cắt bỏ.
Phần bị cắt bỏ là hai phần của khối cầu, mỗi phần là một hình cầu cap. Ta sẽ tính thể tích của một hình cầu cap và nhân đôi.

Công thức tính thể tích của một hình cầu cap:
$$ V_{\text{cap}} = \frac{\pi h^2}{3} (3R - h) $$
Trong đó, $ h $ là chiều cao của hình cầu cap, $ R $ là bán kính của khối cầu.

Chiều cao của mỗi hình cầu cap là:
$$ h = R - d = 5 - 3 = 2 \, \text{dm} $$

Thay vào công thức:
$$ V_{\text{cap}} = \frac{\pi (2)^2}{3} (3 \cdot 5 - 2) = \frac{4\pi}{3} (15 - 2) = \frac{4\pi}{3} \cdot 13 = \frac{52\pi}{3} \, \text{dm}^3 $$

Vì có hai hình cầu cap, nên tổng thể tích của hai phần bị cắt bỏ là:
$$ V_{\text{cut}} = 2 \cdot \frac{52\pi}{3} = \frac{104\pi}{3} \, \text{dm}^3 $$

Bước 3: Tính thể tích mà chiếc lu đựng được.
Thể tích mà chiếc lu đựng được là thể tích của khối cầu ban đầu trừ đi thể tích của hai phần bị cắt bỏ:
$$ V_{\text{lu}} = V_{\text{khoi cau}} - V_{\text{cut}} = \frac{500\pi}{3} - \frac{104\pi}{3} = \frac{396\pi}{3} = 132\pi \, \text{dm}^3 $$

Kết quả làm tròn đến hàng phần mười:
$$ 132\pi \approx 132 \times 3.14159 = 414.69 \, \text{dm}^3 $$

Vậy thể tích mà chiếc lu đựng được là khoảng 414.7 $ \text{dm}^3 $.

Câu 2:
Để tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của đường parabol:
   - Đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất và đi qua điểm M (trung điểm của AC).
   - Gọi trục đối xứng là trục y và gốc tọa độ O tại điểm A.
   - Điểm M có tọa độ $(2, 1)$ vì M là trung điểm của AC và AC = 4m.
   - Điểm C có tọa độ $(4, 0)$ vì C nằm trên mặt đất.
   - Điểm E có tọa độ $(0, 3.5)$ vì E nằm trên trục y.

Phương trình của đường parabol có dạng:
   $$
   y = ax^2 + bx + c
   $$

Thay các điểm vào phương trình:
   - Tại điểm M (2, 1):
     $$
     1 = a(2)^2 + b(2) + c \implies 1 = 4a + 2b + c
     $$
   - Tại điểm C (4, 0):
     $$
     0 = a(4)^2 + b(4) + c \implies 0 = 16a + 4b + c
     $$
   - Tại điểm E (0, 3.5):
     $$
     3.5 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 3.5
     $$

Thay $c = 3.5$ vào hai phương trình còn lại:
   $$
   1 = 4a + 2b + 3.5 \implies 4a + 2b = -2.5 \implies 2a + b = -1.25
   $$
   $$
   0 = 16a + 4b + 3.5 \implies 16a + 4b = -3.5 \implies 4a + b = -0.875
   $$

Giải hệ phương trình:
   $$
   2a + b = -1.25
   $$
   $$
   4a + b = -0.875
   $$

Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:
   $$
   (4a + b) - (2a + b) = -0.875 - (-1.25) \implies 2a = 0.375 \implies a = 0.1875
   $$

Thay $a = 0.1875$ vào $2a + b = -1.25$:
   $$
   2(0.1875) + b = -1.25 \implies 0.375 + b = -1.25 \implies b = -1.625
   $$

Vậy phương trình của đường parabol là:
   $$
   y = 0.1875x^2 - 1.625x + 3.5
   $$

2. Tính diện tích thiết diện của khối tường cong:
   Diện tích thiết diện của khối tường cong là diện tích dưới đường parabol từ x = 0 đến x = 4:
   $$
   S = \int_{0}^{4} (0.1875x^2 - 1.625x + 3.5) \, dx
   $$

Tính tích phân:
   $$
   S = \left[ \frac{0.1875x^3}{3} - \frac{1.625x^2}{2} + 3.5x \right]_{0}^{4}
   $$
   $$
   S = \left[ 0.0625x^3 - 0.8125x^2 + 3.5x \right]_{0}^{4}
   $$
   $$
   S = \left( 0.0625(4)^3 - 0.8125(4)^2 + 3.5(4) \right) - \left( 0.0625(0)^3 - 0.8125(0)^2 + 3.5(0) \right)
   $$
   $$
   S = \left( 0.0625 \cdot 64 - 0.8125 \cdot 16 + 3.5 \cdot 4 \right)
   $$
   $$
   S = \left( 4 - 13 + 14 \right) = 5 \text{ m}^2
   $$

3. Tính thể tích khối tường cong:
   Thể tích khối tường cong là diện tích thiết diện nhân với chiều dài đoạn thẳng AB:
   $$
   V = S \times AB = 5 \times 2 = 10 \text{ m}^3
   $$

Vậy thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong là 10 m³.