Kamsmsnnsnd

Câu 14. a) Xác suất để chọn được học sinh thích cả bóng đá và bóng rổ là 0,2 Đúng vì theo đề bài, tỷ lệ học sinh thích cả hai môn bóng đá và bóng rổ là 20%, do đó xác suất là 0,2. b) Xác suất để chọn được học sinh thích một trong hai môn bóng đá hoặc bóng rổ là 0,95 Sai vì xác suất để chọn được học sinh thích một trong hai môn bóng đá hoặc bóng rổ được tính bằng tổng xác suất của hai nhóm trừ đi xác suất của nhóm thích cả hai môn: Xác suất thích bóng đá hoặc bóng rổ = Xác suất thích bóng đá + Xác suất thích bóng rổ - Xác suất thích cả hai môn = 0,65 + 0,30 - 0,20 = 0,75 Do đó, xác suất để chọn được học sinh thích một trong hai môn bóng đá hoặc bóng rổ là 0,75, không phải 0,95. c) Xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn bóng đá và bóng rổ là 0,75 Đúng vì xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn bóng đá và bóng rổ đã được tính ở phần b) là 0,75. d) Xác suất để chọn được học sinh thích bóng đá là 0,65 Đúng vì theo đề bài, tỷ lệ học sinh thích bóng đá là 65%, do đó xác suất là 0,65. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 15. a) Sai vì $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BD}|.|\overrightarrow{BC}|.cos135^0=a\sqrt2.a.\frac{-\sqrt2}{2}=-a^2$ b) Đúng vì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BB'}$ c) Sai vì $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CO}=-\overrightarrow{AD}+\frac12(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C'B'})=-\overrightarrow{AD}+\frac12(-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'})=-\frac32\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AA'}$ d) Sai vì $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{DA}|.|\overrightarrow{AC}|.cos(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{AC})=a.a\sqrt3.cos(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{AC})=a^2$ nên $cos(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{AC})=\frac{\sqrt3}{3}\neq cos60^0$ Câu 16. Để giải quyết các mệnh đề, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Đường tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x = -2$. Điều kiện xác định của hàm số $y = \frac{m^2 + m + 1}{px + 2}$ là $px + 2 \neq 0$, tức là $x \neq -\frac{2}{p}$. Trong hình vẽ, đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -2$. Do đó, ta có: \[ -\frac{2}{p} = -2 \implies p = 1 \] Vậy mệnh đề này là đúng. b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2; +\infty)$. Hàm số $y = \frac{m^2 + m + 1}{px + 2}$ có dạng $\frac{a}{bx + c}$, trong đó $a = m^2 + m + 1$, $b = p$, và $c = 2$. Đạo hàm của hàm số là: \[ y' = -\frac{(m^2 + m + 1)p}{(px + 2)^2} \] Vì $p = 1$, nên: \[ y' = -\frac{m^2 + m + 1}{(x + 2)^2} \] Do $(x + 2)^2 > 0$ cho mọi $x \neq -2$, và $m^2 + m + 1 > 0$ (vì $m^2 + m + 1$ là tổng của các số dương), ta có $y' < 0$ cho mọi $x \neq -2$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2; +\infty)$. Mệnh đề này là đúng. c) Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(0; 1)$. Thay $x = 0$ vào hàm số: \[ y = \frac{m^2 + m + 1}{p \cdot 0 + 2} = \frac{m^2 + m + 1}{2} \] Để đồ thị đi qua điểm $A(0; 1)$, ta cần: \[ \frac{m^2 + m + 1}{2} = 1 \implies m^2 + m + 1 = 2 \implies m^2 + m - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn: $m = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ hoặc $m = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$. Mệnh đề này là đúng. d) Ta có $2m + 3n - p = 10$. Chúng ta đã biết $p = 1$. Để kiểm tra mệnh đề này, ta cần biết giá trị của $m$ và $n$. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, ta chưa có đủ dữ liệu để xác định giá trị cụ thể của $m$ và $n$. Do đó, mệnh đề này là sai vì không có đủ thông tin để chứng minh nó. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 17. Để tìm số lượng sản phẩm mà ông A cần sản xuất để lợi nhuận thu về là lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm doanh thu và chi phí: Doanh thu từ việc bán x sản phẩm là: \[ f(x) = x^3 - 1565x^2 + 128500x + 30000 \] Chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là: \[ C(x) = 1000 + x + \frac{25000}{x} \] 2. Tính tổng chi phí sản xuất: Tổng chi phí sản xuất x sản phẩm là: \[ g(x) = x \cdot C(x) = x \left(1000 + x + \frac{25000}{x}\right) = 1000x + x^2 + 25000 \] 3. Tính lợi nhuận: Lợi nhuận thu được từ việc sản xuất và bán x sản phẩm là: \[ L(x) = f(x) - g(x) \] \[ L(x) = (x^3 - 1565x^2 + 128500x + 30000) - (1000x + x^2 + 25000) \] \[ L(x) = x^3 - 1565x^2 + 128500x + 30000 - 1000x - x^2 - 25000 \] \[ L(x) = x^3 - 1566x^2 + 127500x + 5000 \] 4. Tìm giá trị cực đại của lợi nhuận: Để tìm giá trị cực đại của \( L(x) \), ta tính đạo hàm của \( L(x) \) và tìm điểm cực đại. \[ L'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 1566x^2 + 127500x + 5000) \] \[ L'(x) = 3x^2 - 3132x + 127500 \] Đặt \( L'(x) = 0 \) để tìm điểm cực đại: \[ 3x^2 - 3132x + 127500 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 1044x + 42500 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{1044 \pm \sqrt{1044^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42500}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1044 \pm \sqrt{1090336 - 170000}}{2} \] \[ x = \frac{1044 \pm \sqrt{920336}}{2} \] \[ x = \frac{1044 \pm 959.2}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{1044 + 959.2}{2} = 1001.6 \] \[ x_2 = \frac{1044 - 959.2}{2} = 42.4 \] Vì số lượng sản phẩm phải là số nguyên dương và không quá 150 sản phẩm, ta chọn \( x = 42 \). 5. Kiểm tra điều kiện: Để đảm bảo rằng \( x = 42 \) là điểm cực đại, ta kiểm tra đạo hàm thứ hai: \[ L''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3132x + 127500) \] \[ L''(x) = 6x - 3132 \] Tại \( x = 42 \): \[ L''(42) = 6 \cdot 42 - 3132 = 252 - 3132 = -2880 < 0 \] Vậy \( x = 42 \) là điểm cực đại. Kết luận: Ông A cần sản xuất 42 sản phẩm để lợi nhuận thu về là lớn nhất. Câu 18. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương hướng chuyển động của cabin cáp treo. 2. Tìm tọa độ của điểm D. 3. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và D. Bước 1: Xác định phương hướng chuyển động của cabin cáp treo Cabin cáp treo chuyển động đều theo đường cáp thẳng từ điểm A(10, 3, 0) đến điểm D. Ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AD. Bước 2: Tìm tọa độ của điểm D Gọi tọa độ của điểm D là (x, y, z). Vì khoảng cách giữa hai điểm A và D là 3780 m, nên ta có: \[ \sqrt{(x - 10)^2 + (y - 3)^2 + z^2} = 3780 \] Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm A và D Ta đã biết khoảng cách giữa hai điểm A và D là 3780 m, do đó ta có: \[ \sqrt{(x - 10)^2 + (y - 3)^2 + z^2} = 3780 \] Để tìm tọa độ của điểm D, ta cần thêm thông tin về hướng chuyển động của cabin cáp treo. Nếu không có thông tin cụ thể về hướng chuyển động, ta có thể giả sử cabin cáp treo chuyển động theo một đường thẳng từ điểm A đến điểm D. Giả sử cabin cáp treo chuyển động theo phương thẳng đứng từ điểm A đến điểm D, tức là tọa độ x và y không thay đổi, chỉ tọa độ z thay đổi. Do đó, ta có: \[ x = 10 \] \[ y = 3 \] \[ z = 3780 \] Vậy tọa độ của điểm D là (10, 3, 3780). Đáp số: Tọa độ của điểm D là (10, 3, 3780).