hộ em giải chi tiết với ạ

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về hình học không gian và các tính chất của mặt phẳng và đường thẳng. Bước 1: Xác định vị trí của điểm O và đường thẳng $$. - Điểm O là một điểm cố định trong không gian. - Đường thẳng $$ là một đường thẳng cố định trong không gian. Bước 2: Xét tính chất của mặt phẳng vuông góc với đường thẳng. - Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $$ nếu nó chứa đường thẳng vuông góc với $$ đi qua điểm O. Bước 3: Xác định số lượng mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $$ đi qua điểm O. - Ta có thể vẽ vô số đường thẳng vuông góc với $$ đi qua điểm O. - Mỗi đường thẳng vuông góc với $$ đi qua điểm O sẽ xác định một mặt phẳng vuông góc với $$. Do đó, qua điểm O cho trước, có vô số mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $$ cho trước. Đáp án đúng là: B. Vô số. Câu 2: Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy bằng nhau, và ABCD là hình vuông tâm O. Điều này có nghĩa là SA = SB = SC = SD và AB = BC = CD = DA. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. $$ - Đây là khẳng định sai vì BA nằm trong mặt phẳng (ABCD). B. $$ - Ta cần kiểm tra xem SO có vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay không. Vì SA = SB = SC = SD và ABCD là hình vuông tâm O, nên SO là đường cao hạ từ đỉnh S xuống tâm O của hình vuông ABCD. Do đó, SO vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Vậy khẳng định này là đúng. C. $$ - Để kiểm tra xem AB có vuông góc với mặt phẳng (SBC) hay không, ta cần kiểm tra xem AB có vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng (SBC). Tuy nhiên, AB không vuông góc với SC (vì SC là đường chéo của tam giác đều SBC). Vậy khẳng định này là sai. D. $$ - Để kiểm tra xem AC có vuông góc với mặt phẳng (SBC) hay không, ta cần kiểm tra xem AC có vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng (SBC). Tuy nhiên, AC không vuông góc với SC (vì SC là đường chéo của tam giác đều SBC). Vậy khẳng định này là sai. Vậy khẳng định đúng là: B. $$ Câu 3: Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và SA vuông góc với đáy. - Vì ABCD là hình vuông nên AC và BD là hai đường chéo của hình vuông, do đó AC vuông góc với BD. - Mặt khác, SA vuông góc với đáy ABCD, suy ra SA vuông góc với BD. Do đó, BD vuông góc với cả hai đường thẳng AC và SA, mà AC và SA nằm trong mặt phẳng (SAC). Vậy BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Vậy khẳng định đúng là: D. $$ Đáp án: D. $$ Câu 4: Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình thoi tâm O, do đó AC vuông góc với BD tại O. Mặt khác, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), suy ra SO vuông góc với AC. Bây giờ, ta xét các mặt phẳng đã cho: - Mặt phẳng (SAB) bao gồm SO và AB, nhưng không bao gồm AC, nên AC không vuông góc với (SAB). - Mặt phẳng (SAD) bao gồm SO và AD, nhưng không bao gồm AC, nên AC không vuông góc với (SAD). - Mặt phẳng (SCD) bao gồm SO và CD, nhưng không bao gồm AC, nên AC không vuông góc với (SCD). - Mặt phẳng (SBD) bao gồm SO và BD, và ta đã biết AC vuông góc với BD tại O. Do đó, AC vuông góc với cả SO và BD, suy ra AC vuông góc với mặt phẳng (SBD). Vậy đáp án đúng là D. (SBD). Câu 5: Trước tiên, ta xét các tính chất của hình chóp S.ABC: - Đáy ABC là tam giác vuông tại B, tức là $$. - Cạnh bên SA vuông góc với đáy, tức là $$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. $$: - Để $$, thì $$ phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBC). Tuy nhiên, ta thấy rằng $$ không vuông góc với $$ (vì $$ là đường chéo của hình chữ nhật SABC), do đó khẳng định này sai. B. $$: - Để $$, thì $$ phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAC). Ta thấy rằng $$ (vì $$) và $$ (vì $$ là tam giác vuông tại B). Do đó, $$ là đúng. C. $$: - Để $$, thì $$ phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAB). Tuy nhiên, ta thấy rằng $$ không vuông góc với $$ (vì $$ là đường chéo của hình chữ nhật SABC), do đó khẳng định này sai. D. $$: - Để $$, thì $$ phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBC). Tuy nhiên, ta thấy rằng $$ không vuông góc với $$ (vì $$ là đường chéo của hình chữ nhật SABC), do đó khẳng định này sai. Vậy khẳng định đúng là: B. $$ Đáp án: B. $$ Câu 6: Trước tiên, ta xét các khẳng định một cách chi tiết: A. $$: - Vì $$ là hình chữ nhật nên $$. - Mặt khác, $$ nên $$. - Do đó, $$ vuông góc với cả hai đường thẳng $$ và $$, nằm trong mặt phẳng $$. - Vậy $$. B. $$: - Ta thấy $$ không vuông góc với $$ (vì $$ là đường chéo của hình chữ nhật $$). - Do đó, $$ không thể vuông góc với cả hai đường thẳng $$ và $$, nằm trong mặt phẳng $$. - Vậy $$. C. $$: - $$ là hình chiếu của $$ lên $$, do đó $$. - Tuy nhiên, để $$ thì $$ phải vuông góc với cả hai đường thẳng $$ và $$. - Ta chưa có thông tin về $$, nên không thể kết luận $$. D. $$: - $$ là hình chiếu của $$ lên $$, do đó $$. - Tuy nhiên, để $$ thì $$ phải vuông góc với cả hai đường thẳng $$ và $$. - Ta chưa có thông tin về $$, nên không thể kết luận $$. Từ các lập luận trên, ta thấy khẳng định đúng là: A. $$. Đáp án: A. $$. Câu 7: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', đường thẳng AC nằm trong mặt phẳng đáy ABCD. Để tìm mặt phẳng mà đường thẳng AC vuông góc với nó, ta cần kiểm tra từng mặt phẳng đã cho. A. Mặt phẳng $$: - Ta thấy rằng điểm A' nằm trên cạnh AA' và điểm B, D nằm trên đáy ABCD. Do đó, mặt phẳng $$ đi qua đỉnh A' và hai đỉnh B, D của đáy ABCD. - Vì AC nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và không vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng $$, nên AC không vuông góc với mặt phẳng $$. B. Mặt phẳng $$: - Ta thấy rằng điểm A' nằm trên cạnh AA', điểm D nằm trên đáy ABCD và điểm C' nằm trên cạnh CC'. - Vì AC nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và không vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng $$, nên AC không vuông góc với mặt phẳng $$. C. Mặt phẳng $$: - Ta thấy rằng điểm A' nằm trên cạnh AA', điểm C nằm trên đáy ABCD và điểm D nằm trên đáy ABCD. - Vì AC nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và không vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng $$, nên AC không vuông góc với mặt phẳng $$. D. Mặt phẳng $$: - Ta thấy rằng điểm A' nằm trên cạnh AA', điểm B' nằm trên cạnh BB', điểm C nằm trên đáy ABCD và điểm D nằm trên đáy ABCD. - Vì AC nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và vuông góc với đường thẳng BD (do tính chất hình vuông ABCD), nên AC vuông góc với mặt phẳng $$. Vậy đáp án đúng là D. $$. Câu 8: Trước tiên, ta xét các mặt của hình chóp SABC: - Mặt SAB: Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB. Do đó, mặt SAB là tam giác vuông tại A. - Mặt SAC: Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AC. Do đó, mặt SAC là tam giác vuông tại A. - Mặt SBC: Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC. Do đó, mặt SBC là tam giác vuông tại B. - Mặt ABC: Vì AB ⊥ BC nên mặt ABC là tam giác vuông tại B. Như vậy, hình chóp SABC có 4 mặt là tam giác vuông. Đáp án đúng là: B. 4. Câu 9: Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD với điều kiện $$. Điều này có nghĩa là đoạn thẳng SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. $$: - Vì $$, nên $$. Tuy nhiên, để khẳng định $$, ta cần biết thêm thông tin về vị trí của điểm B trên mặt phẳng (ABCD). Nếu B nằm trên đường thẳng AB, thì $$ là đúng. Nhưng nếu B nằm ở vị trí khác, ta không thể chắc chắn rằng $$. Do đó, mệnh đề này chưa chắc chắn. B. $$: - Vì $$, nên $$ là đúng vì CD nằm trong mặt phẳng (ABCD). C. $$: - Vì $$, nên $$ là đúng vì BD nằm trong mặt phẳng (ABCD). D. $$: - Vì $$, nên $$ là đúng vì BC nằm trong mặt phẳng (ABCD). Từ các phân tích trên, ta thấy rằng mệnh đề A là chưa chắc chắn và có thể sai, trong khi các mệnh đề B, C và D đều đúng. Vậy, mệnh đề sai là: A. $$ Đáp án: A. $$ Câu 10: Trước tiên, ta nhận thấy rằng M và N lần lượt là trung điểm của SC và SD. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác SCD. Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có: $$ Bây giờ, ta xét các khẳng định: A. $$ - Để $$, thì $$ phải vuông góc với $$. Tuy nhiên, vì ABCD là hình chữ nhật, $$ song song với $$ và không thể vuông góc với $$. Vậy khẳng định này sai. B. $$ - Để $$, thì $$ phải vuông góc với $$. Vì ABCD là hình chữ nhật, $$ song song với $$ và không thể vuông góc với $$. Vậy khẳng định này cũng sai. C. $$ - Để $$, thì $$ phải vuông góc với $$. Vì ABCD là hình chữ nhật, $$ song song với $$ và không thể vuông góc với $$. Vậy khẳng định này cũng sai. D. $$ - Để $$, thì $$ phải vuông góc với $$. Vì ABCD là hình chữ nhật, $$ vuông góc với $$. Vậy khẳng định này đúng. Do đó, khẳng định đúng là: $$ Câu 11: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong lăng trụ tam giác đều, đáy là tam giác đều và các cạnh bên thẳng đứng với đáy. Điều này có nghĩa là các cạnh bên như AA', BB', CC' đều vuông góc với mặt phẳng đáy ABC. Bây giờ, ta xét từng khẳng định: A. $$: - $$ là đường cao hạ từ đỉnh $$ xuống cạnh $$ của tam giác đều $$. - $$ là cạnh bên của lăng trụ, song song với $$, và vuông góc với mặt phẳng đáy $$. - Do đó, $$ nằm trong mặt phẳng đáy $$ và không thể vuông góc với $$. B. $$: - $$ là đường cao hạ từ đỉnh $$ xuống cạnh $$ của tam giác đều $$. - $$ và $$ đều nằm trong mặt phẳng đáy $$, và chúng không vuông góc với nhau vì cả hai đều là đường cao của tam giác đều. C. $$: - $$ là cạnh bên của lăng trụ, song song với $$, và vuông góc với mặt phẳng đáy $$. - $$ nằm trong mặt phẳng đáy $$, do đó $$ không thể vuông góc với $$. D. $$: - $$ là cạnh bên của lăng trụ, song song với $$, và vuông góc với mặt phẳng đáy $$. - $$ nằm trong mặt phẳng đáy $$, do đó $$ không thể vuông góc với $$. Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng trong lăng trụ tam giác đều, các đường cao hạ từ đỉnh của tam giác đáy đều vuông góc với các cạnh bên của lăng trụ. Vì vậy, $$ nằm trong mặt phẳng đáy $$ và vuông góc với tất cả các cạnh bên của lăng trụ. Do đó, khẳng định đúng là: $$ Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lập luận từng bước như sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng liên quan: - Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. - I là trung điểm của SA. - J là trung điểm của SC. 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (AIJ): - Ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (AIJ). 3. Xét giao tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (SBD) bao gồm các điểm S, B, D. - Mặt phẳng (AIJ) bao gồm các điểm A, I, J. 4. Tìm điểm chung của hai mặt phẳng: - Điểm O là tâm của hình thoi ABCD, do đó O nằm trên đường thẳng BD. - Điểm O cũng nằm trên đường thẳng AC (vì O là tâm của hình thoi). - Điểm O nằm trên cả hai mặt phẳng (SBD) và (AIJ). 5. Tìm giao tuyến: - Ta cần tìm thêm một điểm chung khác giữa hai mặt phẳng (SBD) và (AIJ). - Xét điểm K là giao điểm của BD và AI. - Vì I là trung điểm của SA, nên AI song song với SD (theo tính chất của tam giác đều). - Do đó, điểm K nằm trên cả hai mặt phẳng (SBD) và (AIJ). 6. Kết luận giao tuyến: - Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (AIJ) là đường thẳng đi qua hai điểm O và K. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (AIJ) là đường thẳng OK.