Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a$ \sqrt{3} $ và SA=a. tính số đo của [ S, BC, A]

Question

Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a$ \sqrt{3} $  và SA=a. tính số đo của [ S, BC, A]

Accepted Answer

Chọn hệ trục tọa độ:

- $ B(0,0,0) $,
- $ A(a\sqrt{3},0,0) $,
- $ C(0,a\sqrt{3},0) $ (do tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ B $),
- $ S(0,0,a) $ (vì $ SA \perp (ABC) $).

$$
\overrightarrow{SB} = (0,0,a) - (0,0,0) = (0,0,a)
$$

$$
\overrightarrow{BC} = (0,a\sqrt{3},0) - (0,0,0) = (0,a\sqrt{3},0)
$$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $ (SBC) $ là tích có hướng:

$$
\overrightarrow{n_{SBC}} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{BC}
$$

$$
=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
0 & 0 & a \
0 & a\sqrt{3} & 0
\end{vmatrix}
$$

$$
= (0 \cdot 0 - a\sqrt{3} \cdot a) \mathbf{i} - (0 \cdot 0 - a \cdot 0) \mathbf{j} + (0 \cdot a\sqrt{3} - 0 \cdot 0) \mathbf{k}
$$

$$
= (-a^2\sqrt{3}, 0, 0)
$$

Do đó, vector pháp tuyến của mặt phẳng $ (SBC) $ là:

$$
\overrightarrow{n_{SBC}} = (-a^2\sqrt{3}, 0, 0)
$$

$$
\overrightarrow{AB} = (a\sqrt{3},0,0) - (0,0,0) = (a\sqrt{3},0,0)
$$

$$
\overrightarrow{BC} = (0,a\sqrt{3},0) - (0,0,0) = (0,a\sqrt{3},0)
$$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $ (ABC) $ là tích có hướng:

$$
\overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}
$$

$$
=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
a\sqrt{3} & 0 & 0 \
0 & a\sqrt{3} & 0
\end{vmatrix}
$$

$$
= (0 \cdot 0 - 0 \cdot a\sqrt{3}) \mathbf{i} - (a\sqrt{3} \cdot 0 - 0 \cdot 0) \mathbf{j} + (a\sqrt{3} \cdot a\sqrt{3} - 0 \cdot 0) \mathbf{k}
$$

$$
= (0, 0, 3a^2)
$$

$$
\overrightarrow{n_{ABC}} = (0,0,3a^2)
$$

Ta có hai vector pháp tuyến $ \overrightarrow{n_{SBC}} $ và $ \overrightarrow{n_{ABC}} $:

$$
\cos \theta = \frac{\left| \overrightarrow{n_{SBC}} \cdot \overrightarrow{n_{ABC}} \right|}{\|\overrightarrow{n_{SBC}}\| \|\overrightarrow{n_{ABC}}\|}
$$

$$
\overrightarrow{n_{SBC}} \cdot \overrightarrow{n_{ABC}} = (-a^2\sqrt{3}, 0, 0) \cdot (0, 0, 3a^2)
$$

$$
= (-a^2\sqrt{3} \cdot 0) + (0 \cdot 0) + (0 \cdot 3a^2) = 0
$$

Vì tích vô hướng bằng 0, hai mặt phẳng vuông góc nhau:

$$
\theta = 90^\circ
$$

Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a và SA=a. tính số đo của [ S, BC, A]