Cho hình hộp $$ có đáy $$ là hình vuông cạnh $$, tâm $$. Hình chiếu vuông góc của $$ lên mặt phẳng $$ trùng với $$....

Trước tiên, ta xác định hình chiếu của điểm $$ lên mặt phẳng $$. Gọi $$ là trung điểm của $$. Ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng $$ vuông góc với mặt phẳng $$. 1. Chứng minh $$: - Vì $$ và $$ là hai đỉnh của hình hộp, nên $$ là đường thẳng đứng từ $$ lên $$. - $$ là trung điểm của $$, do đó $$ là đường thẳng đi qua trung điểm của $$ và vuông góc với $$. 2. Chứng minh $$: - $$ nằm trong mặt phẳng $$, và $$ nằm trong mặt phẳng $$. - Vì $$ vuông góc với $$ (do $$ là hình vuông), và $$ nằm trong mặt phẳng $$, nên $$ vuông góc với $$. Từ hai kết quả trên, ta suy ra $$ vuông góc với cả $$ và $$, do đó $$ vuông góc với mặt phẳng $$. Vậy $$ là khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng $$. 3. Tính khoảng cách $$: - Ta biết rằng $$ (vì tam giác $$ vuông cân tại $$). - Do đó, $$. - Mặt khác, $$ cũng là khoảng cách từ $$ đến mặt phẳng $$, tức là $$. - Vì $$ là trung điểm của $$, nên $$. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông $$, ta có: $$ - Vì $$ và $$ đối xứng qua $$, nên $$. Vậy khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng $$ là $$.