giúp mình với

Câu 1. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng K nếu $F'(x) = f(x)$, $\forall x \in K$. Do đó, đáp án đúng là: C. $F'(x) = f(x)$, $\forall x \in K$. Câu 2. Để tính tích phân $\int x^2 dx$, ta áp dụng công thức tích phân cơ bản cho hàm đa thức. Công thức tích phân của $x^n$ là: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Trong đó, $n$ là số thực khác -1 và $C$ là hằng số tích phân. Áp dụng công thức này vào bài toán: \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\frac{1}{3}x^3 + C$ Đáp án: B. $\frac{1}{3}x^3 + C$ Câu 3. Để xác định hàm số nào không phải là nguyên hàm của \( f(x) = \sqrt{x} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta sẽ kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số đã cho xem có bằng \( f(x) = \sqrt{x} \) hay không. A. \( F_1(x) = \frac{3\sqrt{x^4}}{4} + 1 \) Ta có: \[ F_1(x) = \frac{3x^2}{4} + 1 \] Tính đạo hàm: \[ F'_1(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3x^2}{4} + 1\right) = \frac{3}{4} \cdot 2x = \frac{3x}{2} \] B. \( F_3(x) = \frac{3x\sqrt{x}}{4} + 3 \) Ta có: \[ F_3(x) = \frac{3x^{3/2}}{4} + 3 \] Tính đạo hàm: \[ F'_3(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3x^{3/2}}{4} + 3\right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = \frac{9}{8} \sqrt{x} \] C. \( F_i(x) = \frac{3}{4} x^{\frac{3}{2}} + 4 \) Ta có: \[ F_i(x) = \frac{3}{4} x^{\frac{3}{2}} + 4 \] Tính đạo hàm: \[ F'_i(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{4} x^{\frac{3}{2}} + 4\right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{8} \sqrt{x} \] D. \( F_1(x) = \frac{3\sqrt{x^2}}{4} + 2 \) Ta có: \[ F_1(x) = \frac{3x}{4} + 2 \] Tính đạo hàm: \[ F'_1(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3x}{4} + 2\right) = \frac{3}{4} \] Như vậy, chỉ có \( F_1(x) = \frac{3x}{4} + 2 \) có đạo hàm không bằng \( \sqrt{x} \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( F_1(x) = \frac{3\sqrt{x^2}}{4} + 2 \). Câu 4. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 \), chúng ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản. Công thức nguyên hàm của \( x^n \) là: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Áp dụng công thức này vào hàm số \( f(x) = x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \] Do đó, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 \) là: \[ \frac{1}{4} x^4 + C \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{1}{4} x^4 + C$. Câu 5. Để tính tích phân $\int 4x^3 dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $4x^3$. - Ta biết rằng nguyên hàm của $x^n$ là $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (với $n \neq -1$). Áp dụng công thức này vào $4x^3$: \[ \int 4x^3 dx = 4 \int x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C = x^4 + C \] Bước 2: Kết luận. - Vậy $\int 4x^3 dx = x^4 + C$. Do đó, đáp án đúng là: D. $x^4 + C$. Câu 6. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^4 + x^3 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong hàm số. - Nguyên hàm của \( x^4 \): \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5} \] - Nguyên hàm của \( x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \] Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int (x^4 + x^3) \, dx = \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + C \] Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^4 + x^3 \) là: \[ \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + C} \] Câu 7. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 4 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm từng phần của hàm số \( f(x) \). Nguyên hàm của \( 2x \) là: \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] Nguyên hàm của \( 4 \) là: \[ \int 4 \, dx = 4x \] Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \): \[ \int (2x + 4) \, dx = x^2 + 4x + C \] Vậy, tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 4 \) là: \[ x^2 + 4x + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( x^2 + 4x + C \). Câu 8. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 6 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 2x \) là \( \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \). - Nguyên hàm của \( 6 \) là \( \int 6 \, dx = 6x \). Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int (2x + 6) \, dx = x^2 + 6x + C \] Vậy, tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 6 \) là \( x^2 + 6x + C \). Do đó, đáp án đúng là: B. \( x^2 + 6x + C \). Câu 9. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos x + 6x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong tổng này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( \cos x \). Nguyên hàm của \( \cos x \) là \( \sin x \). Do đó: \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( 6x \). Nguyên hàm của \( 6x \) là \( 3x^2 \). Do đó: \[ \int 6x \, dx = 3x^2 + C_2 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên để tìm họ nguyên hàm của \( f(x) \). Họ nguyên hàm của \( f(x) = \cos x + 6x \) là: \[ \int (\cos x + 6x) \, dx = \sin x + 3x^2 + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân. Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos x + 6x \) là: \[ \sin x + 3x^2 + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( \sin x + 3x^2 + C \) Câu 10. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + 4 \). Bước 1: Tính nguyên hàm từng phần của hàm số. - Nguyên hàm của \( x^2 \) là \( \frac{x^3}{3} \). - Nguyên hàm của 4 là \( 4x \). Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int f(x) \, dx = \int (x^2 + 4) \, dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C \] Do đó, khẳng định đúng là: D. \( \int f(x) \, dx = x^3 + 4x + C \) Đáp án: D. \( \int f(x) \, dx = x^3 + 4x + C \) Câu 11. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết rằng hàm số \( f(x) \) đã cho là gì. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp cụ thể hàm số \( f(x) \). Do đó, chúng ta sẽ giả sử rằng hàm số \( f(x) \) là một hàm số đơn giản mà chúng ta có thể dễ dàng tích phân. Giả sử \( f(x) = 4 - \cos x \). Bây giờ, chúng ta sẽ tính tích phân của hàm số này: \[ \int f(x) \, dx = \int (4 - \cos x) \, dx. \] Chúng ta sẽ tích phân từng phần riêng lẻ: \[ \int 4 \, dx = 4x + C_1, \] \[ \int -\cos x \, dx = -\sin x + C_2. \] Kết hợp hai kết quả trên lại, ta có: \[ \int (4 - \cos x) \, dx = 4x - \sin x + C, \] trong đó \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Do đó, đáp án đúng là: C. \( \int f(x) \, dx = 4x - \sin x + C \). Đáp án: C. \( \int f(x) \, dx = 4x - \sin x + C \). Câu 12. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x + 2 \). Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số. - Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \). - Nguyên hàm của hằng số 2 là \( 2x \). Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại để tìm nguyên hàm của \( f(x) \): \[ \int f(x) \, dx = \int (e^x + 2) \, dx = \int e^x \, dx + \int 2 \, dx = e^x + 2x + C \] Do đó, khẳng định đúng là: B. $\int f(x) \, dx = e^x + 2x + C$. Đáp án: B. $\int f(x) \, dx = e^x + 2x + C$. Câu 13. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 \sin x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số cơ bản. Nguyên hàm của \( \sin x \) là \( -\cos x + C \). Bước 2: Nhân hệ số vào nguyên hàm. Do \( f(x) = 2 \sin x \), nên nguyên hàm của \( f(x) \) sẽ là: \[ \int 2 \sin x \, dx = 2 \int \sin x \, dx = 2(-\cos x) + C = -2 \cos x + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 \sin x \) là: \[ F(x) = -2 \cos x + C \] Đáp số: \( F(x) = -2 \cos x + C \)