nxmxmznznznzn Câu 15: Parabol $y=-x^2+4x-3$ và các tiếp tuyến của nó tại các điểm $A(0;-3)$ và $B(3;0)$,$A.~\frac92$ $B.~\frac98$ $\underline{C.}~\frac94$ $D.~\frac9{10}$,Câu 16: Tính diện tích của những hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2;y=x+2$

Question

Accepted Answer

Câu 15:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm $ A(0, -3) $.
2. Tìm phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm $ B(3, 0) $.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến và trục hoành.

Bước 1: Tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm $ A(0, -3) $

Phương trình parabol là:
$$ y = -x^2 + 4x - 3 $$

Đạo hàm của $ y $:
$$ y' = -2x + 4 $$

Tại điểm $ A(0, -3) $, đạo hàm $ y' $ là:
$$ y'(0) = -2(0) + 4 = 4 $$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $ A(0, -3) $ là:
$$ y + 3 = 4(x - 0) $$
$$ y = 4x - 3 $$

Bước 2: Tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm $ B(3, 0) $

Tại điểm $ B(3, 0) $, đạo hàm $ y' $ là:
$$ y'(3) = -2(3) + 4 = -6 + 4 = -2 $$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $ B(3, 0) $ là:
$$ y - 0 = -2(x - 3) $$
$$ y = -2x + 6 $$

Bước 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến và trục hoành

Hai tiếp tuyến cắt nhau tại giao điểm của hai đường thẳng:
$$ 4x - 3 = -2x + 6 $$
$$ 6x = 9 $$
$$ x = \frac{3}{2} $$

Thay $ x = \frac{3}{2} $ vào phương trình $ y = 4x - 3 $:
$$ y = 4 \left(\frac{3}{2}\right) - 3 = 6 - 3 = 3 $$

Giao điểm của hai tiếp tuyến là $ \left(\frac{3}{2}, 3\right) $.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến và trục hoành là diện tích tam giác có đỉnh ở $ (0, -3) $, $ (3, 0) $, và $ \left(\frac{3}{2}, 3\right) $.

Cạnh đáy của tam giác là khoảng cách từ $ (0, -3) $ đến $ (3, 0) $:
$$ \text{Đáy} = 3 - 0 = 3 $$

Chiều cao của tam giác là khoảng cách từ $ \left(\frac{3}{2}, 3\right) $ xuống trục hoành:
$$ \text{Chiều cao} = 3 - (-3) = 6 $$

Diện tích tam giác là:
$$ S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9 $$

Tuy nhiên, ta cần tính diện tích phần giới hạn bởi hai tiếp tuyến và trục hoành, tức là diện tích tam giác nhỏ hơn:
$$ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2} $$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến và trục hoành là:
$$ \boxed{\frac{9}{2}} $$

Câu 16:
Để tính diện tích của những hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = x^2 $ và $ y = x + 2 $, chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường cong
Để tìm giao điểm của hai đường $ y = x^2 $ và $ y = x + 2 $, ta giải phương trình:
$$ x^2 = x + 2 $$
$$ x^2 - x - 2 = 0 $$

Phương trình này có dạng $ ax^2 + bx + c = 0 $. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Ở đây, $ a = 1 $, $ b = -1 $, và $ c = -2 $:
$$ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} $$
$$ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} $$
$$ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} $$
$$ x = \frac{1 \pm 3}{2} $$

Do đó, ta có hai nghiệm:
$$ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 $$
$$ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 $$

Vậy giao điểm của hai đường là $ x = -1 $ và $ x = 2 $.

Bước 2: Xác định diện tích giới hạn
Diện tích $ A $ giữa hai đường $ y = x^2 $ và $ y = x + 2 $ từ $ x = -1 $ đến $ x = 2 $ được tính bằng tích phân:
$$ A = \int_{-1}^{2} [(x + 2) - x^2] \, dx $$

Bước 3: Tính tích phân
Ta tính tích phân từng phần:
$$ A = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx $$
$$ A = \int_{-1}^{2} x \, dx + \int_{-1}^{2} 2 \, dx - \int_{-1}^{2} x^2 \, dx $$

Tính từng tích phân riêng lẻ:
$$ \int_{-1}^{2} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

$$ \int_{-1}^{2} 2 \, dx = 2 \int_{-1}^{2} 1 \, dx = 2 \left[ x \right]_{-1}^{2} = 2(2 - (-1)) = 2 \cdot 3 = 6 $$

$$ \int_{-1}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = 3 $$

Bước 4: Kết hợp các kết quả
$$ A = \frac{3}{2} + 6 - 3 = \frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2} + \frac{6}{2} = \frac{9}{2} $$

Vậy diện tích của những hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = x^2 $ và $ y = x + 2 $ là:
$$ \boxed{\frac{9}{2}} $$