Giai cu the

Câu 2: (a) Đúng vì nếu $G(x) = F(x) + C$, với $C$ là hằng số, thì $G'(x) = F'(x) = f(x)$. Do đó, $G(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$. (b) Sai vì $\int f(x) \, dx = \int (2x - \sin x) \, dx = x^2 + \cos x + C$, với $C$ là hằng số. (c) Sai vì $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} (2x - \sin x) \, dx = \left[ x^2 + \cos x \right]_{1}^{5} = (25 + \cos 5) - (1 + \cos 1) = 24 + \cos 5 - \cos 1$. Kết quả này không bằng $\frac{\pi^2}{9} - \frac{1}{2}$. (d) Sai vì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x) = 2x - \sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -1$ và $x = 2$ bằng $\int_{-1}^{2} |2x - \sin x| \, dx$. Ta cần kiểm tra dấu của $2x - \sin x$ trên khoảng $[-1, 2]$ để tính tích phân đúng. Đáp án: (a) Đúng (b) Sai (c) Sai (d) Sai Câu 3: Để tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $(C):~y=x^3-3x$ và đường thẳng $d:~y=x$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đồ thị: \[ x^3 - 3x = x \] \[ x^3 - 4x = 0 \] \[ x(x^2 - 4) = 0 \] \[ x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Vậy các giao điểm là \( x = 0 \), \( x = 2 \), và \( x = -2 \). 2. Xác định khoảng tích phân: Do ta quay quanh trục Ox nên ta sẽ tính thể tích từ \( x = -2 \) đến \( x = 2 \). 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{-2}^{2} \left[ (x)^2 - (x^3 - 3x)^2 \right] dx \] 4. Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{-2}^{2} \left[ x^2 - (x^6 - 6x^4 + 9x^2) \right] dx \] \[ V = \pi \int_{-2}^{2} \left[ x^2 - x^6 + 6x^4 - 9x^2 \right] dx \] \[ V = \pi \int_{-2}^{2} \left[ -x^6 + 6x^4 - 8x^2 \right] dx \] 5. Tính từng phần tích phân: \[ \int_{-2}^{2} (-x^6) dx = -\left[ \frac{x^7}{7} \right]_{-2}^{2} = -\left( \frac{2^7}{7} - \frac{(-2)^7}{7} \right) = -\left( \frac{128}{7} - \frac{-128}{7} \right) = -\left( \frac{256}{7} \right) = -\frac{256}{7} \] \[ \int_{-2}^{2} (6x^4) dx = 6 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-2}^{2} = 6 \left( \frac{2^5}{5} - \frac{(-2)^5}{5} \right) = 6 \left( \frac{32}{5} - \frac{-32}{5} \right) = 6 \left( \frac{64}{5} \right) = \frac{384}{5} \] \[ \int_{-2}^{2} (-8x^2) dx = -8 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = -8 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} \right) = -8 \left( \frac{8}{3} - \frac{-8}{3} \right) = -8 \left( \frac{16}{3} \right) = -\frac{128}{3} \] 6. Cộng lại các kết quả: \[ V = \pi \left( -\frac{256}{7} + \frac{384}{5} - \frac{128}{3} \right) \] Chuyển về cùng mẫu số: \[ V = \pi \left( -\frac{256 \times 15}{105} + \frac{384 \times 21}{105} - \frac{128 \times 35}{105} \right) \] \[ V = \pi \left( -\frac{3840}{105} + \frac{8064}{105} - \frac{4480}{105} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{-3840 + 8064 - 4480}{105} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{744}{105} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{248}{35} \right) \] \[ V = \frac{248\pi}{35} \approx 22.29 \] Vậy thể tích khối tròn xoay là \( \frac{248\pi}{35} \) hoặc khoảng 22.29 (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 4: Để tính nguyên hàm $\int(7+5\cot^2x)dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách nguyên hàm thành hai phần: \[ \int(7+5\cot^2x)dx = \int 7 dx + \int 5\cot^2x dx \] Bước 2: Tính nguyên hàm của mỗi phần riêng lẻ: - Nguyên hàm của $\int 7 dx$ là: \[ \int 7 dx = 7x + C_1 \] - Nguyên hàm của $\int 5\cot^2x dx$: Ta biết rằng $\cot^2x = \csc^2x - 1$. Do đó: \[ \int 5\cot^2x dx = \int 5(\csc^2x - 1) dx = 5\int \csc^2x dx - 5\int dx \] Nguyên hàm của $\int \csc^2x dx$ là $-\cot x + C_2$ và nguyên hàm của $\int dx$ là $x + C_3$. Vậy: \[ 5\int \csc^2x dx - 5\int dx = 5(-\cot x) - 5x + C_4 = -5\cot x - 5x + C_4 \] Bước 3: Kết hợp các kết quả lại: \[ \int(7+5\cot^2x)dx = 7x + (-5\cot x - 5x) + C = 2x - 5\cot x + C \] So sánh với dạng tổng quát $ax + b\cot x + c$, ta nhận thấy: \[ a = 2, \quad b = -5, \quad c = 0 \] Bước 4: Tính $a + 4b + c$: \[ a + 4b + c = 2 + 4(-5) + 0 = 2 - 20 = -18 \] Vậy, $a + 4b + c = -18$. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của đường tròn và hai đường parabol. 2. Tính diện tích của hình vuông ABCD. 3. Tính diện tích của mỗi phần của bồn hoa. 4. Tính tổng diện tích của các phần trồng hoa và trồng cỏ. 5. Tính chi phí để trồng hoa và trồng cỏ. Bước 1: Xác định phương trình của đường tròn và hai đường parabol - Đường tròn có tâm O và bán kính R. Vì cạnh hình vuông ABCD là 4m, nên đường chéo của hình vuông là 4√2m. Do đó, bán kính R của đường tròn là 4√2 / 2 = 2√2m. - Phương trình của đường tròn là x² + y² = (2√2)² = 8. - Hai đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Ta giả sử phương trình của hai đường parabol là y = ax² và y = -ax². Bước 2: Tính diện tích của hình vuông ABCD Diện tích của hình vuông ABCD là: \[ S_{ABCD} = 4 \times 4 = 16 \text{ m}^2 \] Bước 3: Tính diện tích của mỗi phần của bồn hoa - Diện tích của mỗi phần của bồn hoa là: \[ S_1 = S_2 = \frac{1}{4} \left( \pi R^2 - S_{ABCD} \right) = \frac{1}{4} \left( \pi (2\sqrt{2})^2 - 16 \right) = \frac{1}{4} \left( 8\pi - 16 \right) = 2\pi - 4 \text{ m}^2 \] Bước 4: Tính tổng diện tích của các phần trồng hoa và trồng cỏ - Tổng diện tích của các phần trồng hoa: \[ S_{hoa} = 2 \times (2\pi - 4) = 4\pi - 8 \text{ m}^2 \] - Tổng diện tích của các phần trồng cỏ: \[ S_{co} = 2 \times (2\pi - 4) = 4\pi - 8 \text{ m}^2 \] Bước 5: Tính chi phí để trồng hoa và trồng cỏ - Chi phí để trồng hoa: \[ \text{Chi phí hoa} = (4\pi - 8) \times 150000 = 600000\pi - 1200000 \text{ đồng} \] - Chi phí để trồng cỏ: \[ \text{Chi phí cỏ} = (4\pi - 8) \times 100000 = 400000\pi - 800000 \text{ đồng} \] Tổng chi phí: \[ \text{Tổng chi phí} = (600000\pi - 1200000) + (400000\pi - 800000) = 1000000\pi - 2000000 \text{ đồng} \] Làm tròn đến hàng chục nghìn: \[ \text{Tổng chi phí} \approx 1000000 \times 3.14 - 2000000 = 3140000 - 2000000 = 1140000 \text{ đồng} \] Đáp số: Nhà trường cần khoảng 1140000 đồng để trồng bồn hoa đó.