giai chi tiet Câu 5,Mặt sàn của một phòng tắm có dạng hình vuông MNPQ,cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí với một hình,bốn cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ,Oxy với O là tâm của hình vuông sao cho trục Ox vuông,góc với cạnh MQ, trục Oy vuông góc với cạnh MN như hình,vẽ ở dưới thì các đường cong OM có phương trình,$y=ax^2$ và $y=bx^3-cx.$ Tính giá trị a+b+c biết rằng diện,tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac13$ diện tích mặt sàn.,

Question

giai chi tiet Câu 5,Mặt sàn của một phòng tắm có dạng hình vuông MNPQ,cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí với một hình,bốn cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ,Oxy với O là tâm của hình vuông sao cho trục Ox vuông,góc với cạnh MQ, trục Oy vuông góc với cạnh MN như hình,vẽ ở dưới thì các đường cong OM có phương trình,$y=ax^2$ và $y=bx^3-cx.$ Tính giá trị a+b+c biết rằng diện,tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac13$ diện tích mặt sàn.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/9c545ef070444706b1b87643cf8fabfc.jpg />

Mai Hoàng Nhi · Accepted Answer

Diện tích 1 cánh của hình trang trí là
$
S_1 = \int_0^1 (x^2 - ax^3 - bx) dx = \frac{1}{3} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}
$

Suy ra diện tích hình trang trí là
$
S = 4S_1 = \frac{4}{3} - a - 2b.
$

Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn nên
$
\frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0.
$

Đồ thị hàm số $y = ax^3 + bx$ đi qua điểm $A(1; 1)$ nên $a + b = 1$.

Khi đó ta có:
$
\begin{cases}
a + 2b = 0 \
a + b = 1
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a = 2 \
b = -1
\end{cases}
$

Vậy $ a+b+c=1$.

Timi · Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định diện tích của hình vuông MNPQ.
2. Xác định diện tích của phần trang trí màu sẫm.
3. Tìm diện tích của một cánh trang trí màu sẫm.
4. Tính diện tích của một cánh trang trí màu sẫm bằng cách tính diện tích giữa hai đường cong từ -1 đến 1.
5. Xác định giá trị của a, b, và c.

Bước 1: Xác định diện tích của hình vuông MNPQ.
Diện tích của hình vuông MNPQ là:
$$ S_{MNPQ} = 2 \times 2 = 4 \text{ m}^2 $$

Bước 2: Xác định diện tích của phần trang trí màu sẫm.
Diện tích của phần trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn:
$$ S_{sẫm} = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3} \text{ m}^2 $$

Bước 3: Tìm diện tích của một cánh trang trí màu sẫm.
Hình vuông MNPQ có 4 cánh trang trí màu sẫm giống nhau, nên diện tích của một cánh trang trí màu sẫm là:
$$ S_{cánh} = \frac{S_{sẫm}}{4} = \frac{\frac{4}{3}}{4} = \frac{1}{3} \text{ m}^2 $$

Bước 4: Tính diện tích của một cánh trang trí màu sẫm bằng cách tính diện tích giữa hai đường cong từ -1 đến 1.
Diện tích giữa hai đường cong $ y = ax^2 $ và $ y = bx^3 - cx $ từ -1 đến 1 là:
$$ S_{cánh} = \int_{-1}^{1} (ax^2 - (bx^3 - cx)) \, dx $$
$$ S_{cánh} = \int_{-1}^{1} (ax^2 - bx^3 + cx) \, dx $$
$$ S_{cánh} = \left[ \frac{a}{3}x^3 - \frac{b}{4}x^4 + \frac{c}{2}x^2 \right]_{-1}^{1} $$
$$ S_{cánh} = \left( \frac{a}{3}(1)^3 - \frac{b}{4}(1)^4 + \frac{c}{2}(1)^2 \right) - \left( \frac{a}{3}(-1)^3 - \frac{b}{4}(-1)^4 + \frac{c}{2}(-1)^2 \right) $$
$$ S_{cánh} = \left( \frac{a}{3} - \frac{b}{4} + \frac{c}{2} \right) - \left( -\frac{a}{3} - \frac{b}{4} + \frac{c}{2} \right) $$
$$ S_{cánh} = \frac{a}{3} - \frac{b}{4} + \frac{c}{2} + \frac{a}{3} + \frac{b}{4} - \frac{c}{2} $$
$$ S_{cánh} = \frac{2a}{3} $$

Bước 5: Xác định giá trị của a, b, và c.
Ta đã biết diện tích của một cánh trang trí màu sẫm là $\frac{1}{3}$:
$$ \frac{2a}{3} = \frac{1}{3} $$
$$ 2a = 1 $$
$$ a = \frac{1}{2} $$

Do đó, ta có:
$$ a = \frac{1}{2}, \quad b = 0, \quad c = 0 $$

Từ đó, giá trị của $a + b + c$ là:
$$ a + b + c = \frac{1}{2} + 0 + 0 = \frac{1}{2} $$

Đáp số: $a + b + c = \frac{1}{2}$.

Ttmanh · Answer