Giúp em vơid ạ Câu 2,Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật,với kích thước: chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều,cao 8 cm(hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta,đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai,có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình,vuông nhỏ có đường chéo dài n ( cm ) , miệng khay là hình,vuông lớn có đường chéo dài 2n ( cm ) (hình b). Sau khi,đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac25$ chiều cao của,khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac14$,với ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị,centimét khối có kết quả chính xác đến hàng đơn vị là,$a(cm^3),$ Tổng các chữ số của số a bằng bao nhiêu?,

Question

Accepted Answer

Vì khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao 8 cm, nên ta có thể tích nước trong khay thứ nhất trước khi đổ ra là: 20.10.8 = 1 600 (cm³).

Sau khi đổ nước sang khay thứ hai, ta thấy rằng lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu, cho nên lượng nước có ở trong khay thứ 2 bằng $\frac{1}{4}$ lượng nước ban đầu có ở trong khay thứ nhất.

Như vậy, thể tích nước có trong khay thứ hai là . $1 600. \frac{1}{4} = 400 (c m^{3}) .$

Gọi chiều cao của khay thứ hai là h (cm).

Giả sử khay thứ hai có hình dạng chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ sau:

Dễ dàng chứng minh được ACC’A’ là hình thang cân. Lấy MN song song với AC; H, K lần lượt là hình chiếu của A’, C’ trên AC; P, Q lần lượt là giao điểm của A’H và MN, C’K và MN như hình vẽ sau:

Theo giả thiết mực nước (ngang với $ MN $) trong khay thứ hai cao bằng $ \frac{2}{3} $ chiều cao của khay đó, nên ta có thể coi $ C'Q $ chính là chiều cao nước trong khay.

Dễ thấy: $ A'H = C'K = h $.

Suy ra: $ C'Q = \frac{2}{3} h $, có nghĩa là chiều cao nước trong khay thứ hai là $ \frac{2}{3} h $.

Vì $ H, K $ lần lượt là hình chiếu của $ A', C' $ trên $ AC $ nên $ A'H \perp AC, C'K \perp AC $.

Suy ra $ A'H \parallel C'K $ và $ \widehat{A'HK} = 90^\circ $ mà $ HK \parallel A'C' $ nên $ HKCA' $ là hình chữ nhật.

Từ đó ta có $ A'C' = HK = n $.

Suy ra $ AH = CK = \frac{n}{2} $.

Tam giác $ \triangle AAH $ có $ MP \parallel AH $, nên theo hệ quả định lý Thales ta có:
$$
\frac{MP}{AH} = \frac{AP}{AH} = \frac{2}{3}
$$

$$
MP = \frac{2}{3} AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{n}{2} = \frac{n}{3}
$$

Tương tự tam giác $ \triangle C'CK $ có $ QN \parallel CK $ nên ta cũng có $ QN = \frac{n}{3} $.

Do đó:
$$
MN = MP + PQ + QN = \frac{n}{3} + n + \frac{n}{3} = \frac{5n}{3}
$$

Theo giả thiết ta có thể tích nước trong khay thứ hai bằng thể tích khối chóp cụt tứ giác đều với đáy lớn (hình vuông) nhận $ MN $ là đường chéo có diện tích $ S'_1 $ và đáy nhỏ (hình vuông) nhận $ AC' $ làm đường chéo có diện tích $ S'_2 $, chiều cao bằng $ h' = \frac{2}{3} h $.

$$
S'_1 = \frac{MN^2}{2} = \frac{\left(\frac{5n}{3}\right)^2}{2} = \frac{25n^2}{18}
$$

$$
S'_2 = \frac{AC'^2}{2} = \frac{n^2}{2}
$$

$$
V' = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3} h \right) \cdot \left(\frac{25n^2}{18} + \sqrt{\frac{25n^2}{18} \cdot \frac{n^2}{2}} + \frac{n^2}{2} \right) = \frac{49}{81} n^2 h
$$

Mà thể tích nước trong khay thứ hai là $ 400 $ cm$^3$, nên ta có:

$$
V = \frac{49}{81} n^2 h = 400 \Rightarrow n^2 h = \frac{32}{49} \cdot 400
$$

Mặt khác, thể tích khay thứ hai bằng thể tích khối chóp cụt tứ giác đều với đáy lớn (hình vuông) nhận $ AC $ là đường chéo có diện tích $ S_1 $ và đáy nhỏ (hình vuông) nhận $ AC' $ làm đường chéo có diện tích $ S_2 $, chiều cao bằng $ h $.

$$
S_1 = \frac{AC^2}{2} = \frac{(2n)^2}{2} = 2n^2
$$

$$
S_2 = \frac{AC'^2}{2} = \frac{n^2}{2}
$$

$$
V = \frac{1}{3} h \cdot \left( 2n^2 + \sqrt{2n^2 \cdot \frac{n^2}{2}} + \frac{n^2}{2} \right) = \frac{7}{6} n^2 h
$$

Mà $ n^2 h = \frac{32}{49} \cdot 400 $ suy ra

$$
V = \frac{7}{6} \cdot \frac{32}{49} \cdot 400 = \frac{5}{7} \cdot 400 \quad (cm^3).
$$

Vậy thể tích của chiếc khay thứ hai bằng $ \frac{5}{7} \cdot 400 \quad (cm^3) $.