Công thức Hoán vị - tổ hợp - chỉnh hợp

Question

Accepted Answer

Trong toán học, công thức về hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp là những công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến sắp xếp và lựa chọn các phần tử từ một tập hợp. Dưới đây là các công thức cơ bản và cách lập luận từng bước.

1. Hoán vị

Hoán vị là cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo thứ tự nhất định.

- Hoán vị của n phần tử: Số cách sắp xếp n phần tử là $ P(n) = n! $
  
  Lập luận:
  - Chọn phần tử đầu tiên có $ n $ cách chọn.
  - Chọn phần tử thứ hai có $ n-1 $ cách chọn.
  - Chọn phần tử thứ ba có $ n-2 $ cách chọn.
  - ...
  - Chọn phần tử cuối cùng có 1 cách chọn.
  
  Do đó, tổng số cách sắp xếp là:
  $$
  P(n) = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 = n!
  $$

- Hoán vị của n phần tử lấy r phần tử: Số cách sắp xếp r phần tử trong n phần tử là $ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} $

Lập luận:
  - Chọn phần tử đầu tiên có $ n $ cách chọn.
  - Chọn phần tử thứ hai có $ n-1 $ cách chọn.
  - Chọn phần tử thứ ba có $ n-2 $ cách chọn.
  - ...
  - Chọn phần tử thứ r có $ n-(r-1) $ cách chọn.
  
  Do đó, tổng số cách sắp xếp là:
  $$
  P(n, r) = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}
  $$

2. Tổ hợp

Tổ hợp là cách lựa chọn các phần tử từ một tập hợp mà không quan tâm đến thứ tự.

- Tổ hợp của n phần tử lấy r phần tử: Số cách lựa chọn r phần tử trong n phần tử là $ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} $

Lập luận:
  - Số cách sắp xếp r phần tử trong n phần tử là $ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} $.
  - Mỗi tổ hợp có $ r! $ cách sắp xếp khác nhau (vì tổ hợp không quan tâm đến thứ tự).
  
  Do đó, số tổ hợp là:
  $$
  C(n, r) = \frac{P(n, r)}{r!} = \frac{\frac{n!}{(n-r)!}}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
  $$

3. Chỉnh hợp

Chỉnh hợp là cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp mà cho phép lặp lại các phần tử.

- Chỉnh hợp của n phần tử lấy r phần tử: Số cách sắp xếp r phần tử trong n phần tử (cho phép lặp lại) là $ H(n, r) = n^r $

Lập luận:
  - Mỗi vị trí trong r vị trí có thể chọn bất kỳ phần tử nào trong n phần tử.
  
  Do đó, tổng số cách sắp xếp là:
  $$
  H(n, r) = n \times n \times n \times \ldots \times n = n^r
  $$

Tóm tắt công thức

1. Hoán vị của n phần tử: $ P(n) = n! $
2. Hoán vị của n phần tử lấy r phần tử: $ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} $
3. Tổ hợp của n phần tử lấy r phần tử: $ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} $
4. Chỉnh hợp của n phần tử lấy r phần tử: $ H(n, r) = n^r $

Như vậy, chúng ta đã trình bày chi tiết các công thức về hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp cùng với cách lập luận từng bước.