Giúp mình với! 2

Câu 9: Trong mặt phẳng $Oxy,$ viết phương trình chính tắc của hypebol $\left(H\right)$ có một tiêu điểm là $F_1\left(-\sqrt{10};0\right)$ và đi qua điểm $A\left(4;-\sqrt{2}\right)$.

$A,\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{6}=1$ $B,\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
$C,\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}=1$ $D,\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{2}=1$

Question

Giúp mình với! 2

Câu 9: Trong mặt phẳng $Oxy,$ viết phương trình chính tắc của hypebol $\left(H\right)$ có một tiêu điểm là $F_1\left(-\sqrt{10};0\right)$ và đi qua điểm $A\left(4;-\sqrt{2}\right)$.

$A,\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{6}=1$ $B,\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
$C,\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}=1$  $D,\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{2}=1$

Accepted Answer

Câu 9:
Để viết phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ có một tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{10}, 0)$ và đi qua điểm $A(4, -\sqrt{2})$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số cơ bản của hypebol:
   - Hypebol có tiêu điểm $F_1(-\sqrt{10}, 0)$, do đó tâm của hypebol là $O(0, 0)$ và khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là $c = \sqrt{10}$.
   - Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.

2. Áp dụng điều kiện đi qua điểm $A(4, -\sqrt{2})$:
   - Thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình chính tắc:
     $$
     \frac{4^2}{a^2} - \frac{(-\sqrt{2})^2}{b^2} = 1
     $$
     $$
     \frac{16}{a^2} - \frac{2}{b^2} = 1
     $$

3. Liên hệ giữa các thông số $a$, $b$, và $c$:
   - Ta biết rằng $c^2 = a^2 + b^2$. Thay $c = \sqrt{10}$ vào:
     $$
     (\sqrt{10})^2 = a^2 + b^2
     $$
     $$
     10 = a^2 + b^2
     $$

4. Giải hệ phương trình:
   - Ta có hai phương trình:
     $$
     \frac{16}{a^2} - \frac{2}{b^2} = 1
     $$
     $$
     a^2 + b^2 = 10
     $$
   - Đặt $a^2 = A$ và $b^2 = B$, ta có:
     $$
     \frac{16}{A} - \frac{2}{B} = 1
     $$
     $$
     A + B = 10
     $$
   - Từ phương trình thứ hai, ta có $B = 10 - A$. Thay vào phương trình đầu tiên:
     $$
     \frac{16}{A} - \frac{2}{10 - A} = 1
     $$
   - Nhân cả hai vế với $A(10 - A)$ để khử mẫu:
     $$
     16(10 - A) - 2A = A(10 - A)
     $$
     $$
     160 - 16A - 2A = 10A - A^2
     $$
     $$
     160 - 18A = 10A - A^2
     $$
     $$
     A^2 - 28A + 160 = 0
     $$
   - Giải phương trình bậc hai này:
     $$
     A = \frac{28 \pm \sqrt{28^2 - 4 \cdot 1 \cdot 160}}{2 \cdot 1}
     $$
     $$
     A = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 640}}{2}
     $$
     $$
     A = \frac{28 \pm \sqrt{144}}{2}
     $$
     $$
     A = \frac{28 \pm 12}{2}
     $$
     $$
     A = 20 \quad \text{hoặc} \quad A = 8
     $$
   - Nếu $A = 20$, thì $B = 10 - 20 = -10$ (loại vì $B$ phải dương).
   - Nếu $A = 8$, thì $B = 10 - 8 = 2$.

5. Viết phương trình chính tắc của hypebol:
   - Ta có $a^2 = 8$ và $b^2 = 2$. Do đó, phương trình chính tắc của hypebol là:
     $$
     \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{2} = 1
     $$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là $\boxed{\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{2} = 1}$.

Giúp mình với! 2 Câu 9: Trong mặt phẳng viết phương trình chính tắc của hypebol có một tiêu điểm là và đi qua điểm ....