Giải bài trong ảnh

Câu 2. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Kiểm tra tính đúng đắn của $F(x) = f'(x)$ Ta có: \[ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \] Tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = \left(\frac{2x + 1}{x - 1}\right)' \] Áp dụng quy tắc thương: \[ f'(x) = \frac{(2x + 1)'(x - 1) - (2x + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2(x - 1) - (2x + 1)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-3}{(x - 1)^2} \] Do đó, $F(x) = f'(x)$ không đúng vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, không phải đạo hàm của $f(x)$. b) Kiểm tra tính đúng đắn của $F(x) = 2x + 3\ln(x - 1) + 2024$ Ta có: \[ F(x) = 2x + 3\ln(x - 1) + 2024 \] Tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = (2x + 3\ln(x - 1) + 2024)' \] \[ F'(x) = 2 + 3 \cdot \frac{1}{x - 1} \] \[ F'(x) = 2 + \frac{3}{x - 1} \] Ta thấy rằng: \[ F'(x) = 2 + \frac{3}{x - 1} \neq \frac{2x + 1}{x - 1} \] Do đó, $F(x) = 2x + 3\ln(x - 1) + 2024$ không đúng. c) Biết $F(2) = 3$, khi đó $F(5) = 9 + 6\ln2$ Ta có: \[ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \] Tìm nguyên hàm của $f(x)$: \[ F(x) = \int \frac{2x + 1}{x - 1} \, dx \] Phân tích thành tổng: \[ \frac{2x + 1}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1} \] \[ F(x) = \int \left(2 + \frac{3}{x - 1}\right) \, dx \] \[ F(x) = 2x + 3\ln|x - 1| + C \] Biết $F(2) = 3$: \[ 2(2) + 3\ln|2 - 1| + C = 3 \] \[ 4 + 3\ln1 + C = 3 \] \[ 4 + 0 + C = 3 \] \[ C = -1 \] Do đó: \[ F(x) = 2x + 3\ln(x - 1) - 1 \] Tính $F(5)$: \[ F(5) = 2(5) + 3\ln(5 - 1) - 1 \] \[ F(5) = 10 + 3\ln4 - 1 \] \[ F(5) = 9 + 3\ln4 \] \[ F(5) = 9 + 6\ln2 \] Vậy $F(5) = 9 + 6\ln2$ là đúng. d) Tính $\int^5_2 f(x) \, dx$ Ta có: \[ \int^5_2 f(x) \, dx = \int^5_2 \frac{2x + 1}{x - 1} \, dx \] \[ \int^5_2 f(x) \, dx = \int^5_2 \left(2 + \frac{3}{x - 1}\right) \, dx \] \[ \int^5_2 f(x) \, dx = \left[2x + 3\ln|x - 1|\right]^5_2 \] \[ \int^5_2 f(x) \, dx = \left(2(5) + 3\ln(5 - 1)\right) - \left(2(2) + 3\ln(2 - 1)\right) \] \[ \int^5_2 f(x) \, dx = (10 + 3\ln4) - (4 + 3\ln1) \] \[ \int^5_2 f(x) \, dx = 10 + 3\ln4 - 4 - 0 \] \[ \int^5_2 f(x) \, dx = 6 + 3\ln4 \] \[ \int^5_2 f(x) \, dx = 6 + 6\ln2 \] Vậy $\int^5_2 f(x) \, dx = 6\ln2$ là đúng. Đáp án: a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng