Giup vs mn oii

Câu 1: Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SC trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh a, ta có: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0) - S(0, 0, 2a) 2. Tìm tọa độ của điểm O: - Điểm O là tâm của hình vuông ABCD, do đó tọa độ của O là: \[ O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \] 3. Tìm vectơ SC: - Vectơ SC có tọa độ: \overrightarrow{SC} = (a, a, -2a) 4. Tìm vectơ SO: - Vectơ SO có tọa độ: \overrightarrow{SO} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -2a\right) 5. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng SC: - Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SC được tính bằng công thức: d = \frac{\|\overrightarrow{SO} \times \overrightarrow{SC}\|}{\|\overrightarrow{SC}\|} - Tính tích vector $\overrightarrow{SO} \times \overrightarrow{SC}$: \overrightarrow{SO} \times \overrightarrow{SC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & -2a \\ a & a & -2a \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left(\frac{a}{2} \cdot (-2a) - (-2a) \cdot a\right) - \mathbf{j} \left(\frac{a}{2} \cdot (-2a) - (-2a) \cdot a\right) + \mathbf{k} \left(\frac{a}{2} \cdot a - \frac{a}{2} \cdot a\right) = \mathbf{i} ( -a^2 + 2a^2 ) - \mathbf{j} ( -a^2 + 2a^2 ) + \mathbf{k} ( 0 ) = \mathbf{i} ( a^2 ) - \mathbf{j} ( a^2 ) + \mathbf{k} ( 0 ) = (a^2, -a^2, 0) - Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{SO} \times \overrightarrow{SC}$: \|\overrightarrow{SO} \times \overrightarrow{SC}\| = \sqrt{(a^2)^2 + (-a^2)^2 + 0^2} = \sqrt{a^4 + a^4} = \sqrt{2a^4} = a^2\sqrt{2} - Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{SC}$: \|\overrightarrow{SC}\| = \sqrt{a^2 + a^2 + (-2a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + 4a^2} = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6} - Tính khoảng cách d: Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 2: Đầu tiên, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, đại lượng này sẽ giúp ta xác định hướng và vận tốc của máy bay. Vectơ AB = (100 - 400, 450 - 50, 10 - 8) = (-300, 400, 2) Tiếp theo, ta tìm tọa độ của điểm C, nằm trên đoạn thẳng AB và cách điểm A một khoảng thời gian bằng nửa thời gian từ A đến B (tức là 5 phút). Các thành phần tọa độ của vectơ AC sẽ bằng một nửa các thành phần tương ứng của vectơ AB: AC = (-150, 200, 1) Tọa độ của điểm C sẽ là: C = A + AC = (400, 50, 8) + (-150, 200, 1) = (250, 250, 9) Cuối cùng, ta tính tổng của các tọa độ của điểm C: 250 + 250 + 9 = 509 Vậy sau đúng 5 phút tính từ lúc máy bay ở vị trí A thì máy bay ở vị trí có tổng hoành độ, tung độ và cao độ là 509 km. Câu 3: Gọi bán kính của nửa hình tròn là \( R \). Ta có \( R = 8 \) cm. Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là \( l \) và \( w \) tương ứng. Chiều dài \( l \) nằm trên đường kính của nửa hình tròn, do đó \( l = 2R \cos(\theta) \) và chiều rộng \( w = R \sin(\theta) \), trong đó \( \theta \) là góc giữa bán kính và đường kính. Diện tích \( S \) của hình chữ nhật là: \[ S = l \times w = 2R \cos(\theta) \times R \sin(\theta) = 2R^2 \cos(\theta) \sin(\theta) \] Áp dụng công thức nhân đôi góc: \[ \cos(\theta) \sin(\theta) = \frac{1}{2} \sin(2\theta) \] Do đó diện tích \( S \) trở thành: \[ S = 2R^2 \cdot \frac{1}{2} \sin(2\theta) = R^2 \sin(2\theta) \] Để diện tích \( S \) lớn nhất, ta cần \( \sin(2\theta) \) đạt giá trị lớn nhất, tức là \( \sin(2\theta) = 1 \). Điều này xảy ra khi \( 2\theta = 90^\circ \) hoặc \( \theta = 45^\circ \). Thay \( R = 8 \) cm vào biểu thức diện tích: \[ S_{max} = 8^2 \cdot 1 = 64 \text{ cm}^2 \] Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tấm bìa đó là 64 cm². Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính toán chi phí hoạt động của công ty dựa trên số máy móc sử dụng và thời gian hoạt động của chúng. Chúng ta sẽ tìm số máy móc tối ưu để chi phí hoạt động là thấp nhất. Bước 1: Xác định các thông số: - Tổng số quả bóng cần sản xuất: 8000 quả. - Mỗi máy sản xuất được 30 quả bóng trong một giờ. - Chi phí thiết lập mỗi máy: 200 nghìn đồng. - Chi phí giám sát mỗi giờ: 192 nghìn đồng. Bước 2: Xác định số máy móc cần thiết: Giả sử công ty sử dụng \( n \) máy móc. Thời gian để sản xuất 8000 quả bóng với \( n \) máy móc là: \[ t = \frac{8000}{30n} = \frac{800}{3n} \text{ giờ} \] Bước 3: Tính tổng chi phí: Chi phí thiết lập \( n \) máy móc là: \[ C_{thietlap} = 200n \text{ nghìn đồng} \] Chi phí giám sát trong thời gian \( t \) giờ là: \[ C_{giamsat} = 192 \times \frac{800}{3n} = \frac{153600}{3n} = \frac{51200}{n} \text{ nghìn đồng} \] Tổng chi phí là: \[ C_{tong} = 200n + \frac{51200}{n} \text{ nghìn đồng} \] Bước 4: Tìm giá trị \( n \) để chi phí tổng là thấp nhất: Để tìm giá trị \( n \) tối ưu, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực tiểu của hàm số \( C_{tong}(n) \). \[ C_{tong}(n) = 200n + \frac{51200}{n} \] Tính đạo hàm: \[ C'_{tong}(n) = 200 - \frac{51200}{n^2} \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: \[ 200 - \frac{51200}{n^2} = 0 \] \[ 200 = \frac{51200}{n^2} \] \[ n^2 = \frac{51200}{200} \] \[ n^2 = 256 \] \[ n = 16 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện: Vì \( n \) là số máy móc, nó phải là số nguyên dương. Do đó, \( n = 16 \) là giá trị tối ưu. Kết luận: Số máy móc công ty nên sử dụng là 16 để chi phí hoạt động là thấp nhất. Câu 5: Để tìm quãng đường ngắn nhất để xe giao hàng đi qua tất cả các kho hàng và quay trở lại kho hàng ban đầu, chúng ta sẽ áp dụng thuật toán tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị, cụ thể là thuật toán Nearest Neighbor hoặc thuật toán Brute Force. Trước tiên, chúng ta sẽ xem xét các quãng đường giữa các kho hàng: - A đến B: 10 km - A đến C: 15 km - A đến D: 20 km - B đến C: 35 km - B đến D: 25 km - C đến D: 10 km Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng thuật toán Nearest Neighbor từ mỗi điểm xuất phát và tìm đường đi ngắn nhất. 1. Xuất phát từ A: - A -> B (10 km) - B -> D (25 km) - D -> C (10 km) - C -> A (15 km) Tổng quãng đường: 10 + 25 + 10 + 15 = 60 km 2. Xuất phát từ B: - B -> A (10 km) - A -> C (15 km) - C -> D (10 km) - D -> B (25 km) Tổng quãng đường: 10 + 15 + 10 + 25 = 60 km 3. Xuất phát từ C: - C -> D (10 km) - D -> B (25 km) - B -> A (10 km) - A -> C (15 km) Tổng quãng đường: 10 + 25 + 10 + 15 = 60 km 4. Xuất phát từ D: - D -> C (10 km) - C -> B (35 km) - B -> A (10 km) - A -> D (20 km) Tổng quãng đường: 10 + 35 + 10 + 20 = 75 km Qua các trường hợp trên, ta thấy rằng quãng đường ngắn nhất là 60 km, xuất phát từ bất kỳ điểm nào trong các điểm A, B, hoặc C. Vậy, quãng đường ngắn nhất để xe giao hàng hoàn thành việc lấy hàng ở các kho và quay trở lại kho hàng ban đầu là 60 km.