Câu 1. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P), trong đó a L (P). Chọn mệnh đề sai. A. Nếu b/l a thì b/I (P). B. Nếu bll a thì b L(P). C. Nếu b L (P) thì b/l a. D. Nếu b // (P) thì b La. Câ...

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là sai. A. Nếu b // a thì b // (P). - Nếu b // a và a nằm trong mặt phẳng (P), thì b cũng phải song song với mặt phẳng (P). Mệnh đề này đúng. B. Nếu b // a thì b L (P). - Nếu b // a và a nằm trong mặt phẳng (P), thì b có thể nằm trong mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P). Mệnh đề này sai vì b không chắc chắn nằm trong mặt phẳng (P). C. Nếu b L (P) thì b // a. - Nếu b nằm trong mặt phẳng (P) và a cũng nằm trong mặt phẳng (P), thì b có thể song song với a hoặc cắt a. Mệnh đề này sai vì b không chắc chắn song song với a. D. Nếu b // (P) thì b // a. - Nếu b song song với mặt phẳng (P) và a nằm trong mặt phẳng (P), thì b có thể song song với a hoặc không cắt a nhưng không chắc chắn song song với a. Mệnh đề này sai vì b không chắc chắn song song với a. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng mệnh đề B là sai vì nếu b // a và a nằm trong mặt phẳng (P), thì b có thể nằm trong mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P), không chắc chắn nằm trong mặt phẳng (P). Vậy, mệnh đề sai là: B. Nếu b // a thì b L (P). Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng qua một điểm O cho trước, có thể vẽ vô số mặt phẳng đi qua điểm đó. Tuy nhiên, trong số những mặt phẳng đó, chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng A cho trước. Lý do là vì: - Qua một điểm O, có thể vẽ vô số đường thẳng. - Mỗi đường thẳng này có thể là giao tuyến của hai mặt phẳng. - Chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng A và đi qua điểm O. Do đó, qua điểm O cho trước, chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng A cho trước. Đáp án đúng là: D. 1. Câu 3. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. 1. Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (a) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng (a). - Đây là khẳng định đúng vì nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (a), thì d sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (a). 2. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (a) thì d vuông góc với mặt phẳng (a). - Đây là khẳng định sai. Để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (a), d phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (a). Nếu chỉ vuông góc với hai đường thẳng song song hoặc cùng phương, thì d không chắc chắn vuông góc với mặt phẳng (a). 3. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (a) thì d vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (a). - Đây là khẳng định đúng. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (a), thì d sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (a). 4. Nếu d // (a) và đường thẳng a // (a) thì d // a. - Đây là khẳng định đúng. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (a) và đường thẳng a cũng song song với mặt phẳng (a), thì d và a có thể song song hoặc chéo nhau. Tuy nhiên, trong ngữ cảnh này, ta hiểu rằng d và a đều song song với mặt phẳng (a), nên d // a là khẳng định đúng. Vậy khẳng định sai là: - Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (a) thì d vuông góc với mặt phẳng (a). Câu 4. Câu hỏi: Trong không gian, khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Câu trả lời: Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. - Đây là khẳng định đúng. Khi ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt, ba giao tuyến đó hoặc đồng quy tại một điểm hoặc đôi một song song với nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. - Đây là khẳng định sai. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng không nhất thiết phải song song với nhau. Chúng có thể nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và không song song. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. - Đây là khẳng định đúng. Khi hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng, chúng phải song song với nhau. Vậy khẳng định sai là: B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Đáp án: B. Câu 5. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là đúng. A. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song hoặc trùng với mặt phẳng (Q). - Điều này không đúng vì góc giữa đường thẳng và hai mặt phẳng có thể bằng nhau mà hai mặt phẳng không nhất thiết phải song song hoặc trùng nhau. B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì đường thẳng a song song với đường thẳng b. - Điều này cũng không đúng vì hai đường thẳng có thể tạo cùng một góc với một mặt phẳng nhưng không nhất thiết phải song song với nhau. C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì đường thẳng a song song hoặc trùng với đường thẳng b. - Điều này cũng không đúng vì hai đường thẳng có thể tạo cùng một góc với một mặt phẳng nhưng không nhất thiết phải song song hoặc trùng nhau. D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. - Điều này đúng theo định nghĩa về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Vậy mệnh đề đúng là: D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. Câu 6. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề đúng. A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. - Điều này là sai vì qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. B. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a 1 b. Luôn có mặt phẳng (a) chứa a và (a) 1b. - Điều này là sai vì nếu hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau, không phải lúc nào cũng tồn tại mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với đường thẳng kia. C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng (a) chứa a và mặt phẳng (B) chứa b thì (a) L (B). - Điều này là sai vì hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng vuông góc với nhau không nhất thiết phải vuông góc với nhau. D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. - Điều này là đúng vì qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. Vậy mệnh đề đúng là D. Câu 7. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là đúng. A. Nếu $$ và $$ thì $$. - Điều này không đúng vì hai đường thẳng song song với cùng một mặt phẳng không nhất thiết phải song song với nhau. Chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau trong không gian. B. Nếu $$ và $$ thì $$. - Điều này cũng không đúng vì lý do tương tự như trên. C. Nếu $$ và $$ thì $$. - Điều này đúng vì nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng khác và đường thẳng đó song song với một mặt phẳng, thì đường thẳng ban đầu cũng song song với mặt phẳng đó. D. Nếu $$ và $$ thì $$. - Điều này không đúng vì lý do đã nêu ở trên. Vậy khẳng định đúng là: C. Nếu $$ và $$ thì $$. Câu 8. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, và các cạnh SA = SC, SB = SD. Do đáy ABCD là hình bình hành tâm O, nên O là trung điểm của cả AC và BD. Ta sẽ chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 1. Xét tam giác SAC: - SA = SC (theo đề bài) - OA = OC (vì O là trung điểm của AC) Vậy tam giác SAC là tam giác cân tại S, do đó SO vuông góc với AC tại O. 2. Xét tam giác SBD: - SB = SD (theo đề bài) - OB = OD (vì O là trung điểm của BD) Vậy tam giác SBD là tam giác cân tại S, do đó SO vuông góc với BD tại O. Vì SO vuông góc với cả AC và BD tại cùng một điểm O, và AC và BD là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (ABCD), nên SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Vậy khẳng định đúng là: B. SO ⊥ (ABCD). Đáp án: B. SO ⊥ (ABCD). Câu 9. Để kiểm tra từng khẳng định, chúng ta sẽ dựa vào các tính chất của hình chóp và hình vuông. A. CD ⊥ (SBC): - Vì đáy ABCD là hình vuông, nên CD ⊥ BC. - Mặt khác, SA ⊥ (ABCD), do đó SA ⊥ CD. - Kết hợp hai điều trên, ta có CD ⊥ (SBC). Khẳng định này đúng. B. SA ⊥ (ABC): - Theo đề bài, SA ⊥ (ABCD), do đó SA ⊥ (ABC). Khẳng định này đúng. C. BC ⊥ (SAB): - Vì đáy ABCD là hình vuông, nên BC ⊥ AB. - Mặt khác, SA ⊥ (ABCD), do đó SA ⊥ BC. - Kết hợp hai điều trên, ta có BC ⊥ (SAB). Khẳng định này đúng. D. BD ⊥ (SAC): - Vì đáy ABCD là hình vuông, nên BD ⊥ AC. - Tuy nhiên, SA ⊥ (ABCD), nhưng không có thông tin nào cho thấy BD ⊥ SA. - Do đó, BD không chắc chắn là vuông góc với (SAC). Khẳng định này sai. Vậy khẳng định sai là: D. BD ⊥ (SAC). Câu 10. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong tứ diện ABCD, hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. Điều này có nghĩa là tất cả các cạnh của tam giác ABC và ABD đều bằng nhau. Gọi M là trung điểm của AB. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một: A. CM ⊥ (ABD): - Vì ABC là tam giác đều, CM là đường cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AB, nên CM ⊥ AB. - Tuy nhiên, để CM ⊥ (ABD), CM phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABD). Điều này không chắc chắn vì CM chỉ biết vuông góc với AB nhưng chưa chắc chắn với các đường thẳng khác trong mặt phẳng (ABD). B. AB ⊥ (MCD): - Để AB ⊥ (MCD), AB phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (MCD). Điều này không chắc chắn vì AB chỉ biết vuông góc với CM (do CM là đường cao của tam giác đều ABC) nhưng chưa chắc chắn với các đường thẳng khác trong mặt phẳng (MCD). C. AB ⊥ (BCD): - Để AB ⊥ (BCD), AB phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (BCD). Điều này không chắc chắn vì AB chỉ biết vuông góc với CM (do CM là đường cao của tam giác đều ABC) nhưng chưa chắc chắn với các đường thẳng khác trong mặt phẳng (BCD). D. DM ⊥ (ABC): - Vì ABD là tam giác đều, DM là đường cao hạ từ đỉnh D xuống đáy AB, nên DM ⊥ AB. - Mặt khác, do M là trung điểm của AB và ABC là tam giác đều, DM cũng vuông góc với mặt phẳng (ABC) vì DM là đường cao hạ từ đỉnh D xuống đáy AB và vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Do đó, khẳng định đúng là: D. DM ⊥ (ABC). Đáp án: D. DM ⊥ (ABC). Câu 11. Trước tiên, ta xét từng mệnh đề một để kiểm tra tính đúng sai của chúng. 1. Mệnh đề: BC ⊥ (SAB) - Vì ABCD là hình vuông nên BC ⊥ AB. - Mặt khác, SA ⊥ đáy ABCD, do đó SA ⊥ BC. - Vậy BC ⊥ (SAB) vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA. 2. Mệnh đề: AC ⊥ (SBD) - Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD. - Mặt khác, SA ⊥ đáy ABCD, do đó SA ⊥ AC. - Vậy AC ⊥ (SBD) vì AC ⊥ BD và AC ⊥ SA. 3. Mệnh đề: BD ⊥ (SAC) - Vì ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC. - Mặt khác, SA ⊥ đáy ABCD, do đó SA ⊥ BD. - Vậy BD ⊥ (SAC) vì BD ⊥ AC và BD ⊥ SA. 4. Mệnh đề: CD ⊥ (SAD) - Vì ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD. - Mặt khác, SA ⊥ đáy ABCD, do đó SA ⊥ CD. - Vậy CD ⊥ (SAD) vì CD ⊥ AD và CD ⊥ SA. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng tất cả các mệnh đề đều đúng. Tuy nhiên, theo yêu cầu của câu hỏi, ta cần tìm mệnh đề sai. Do đó, ta kết luận rằng không có mệnh đề nào trong các mệnh đề đã cho là sai. Đáp án: Không có mệnh đề nào sai. Câu 12. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào đúng. A. AH ⊥ (SCD): - Vì AH là hình chiếu của A lên SC, nên AH ⊥ SC. - Tuy nhiên, để AH ⊥ (SCD), AH phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SCD). Điều này không chắc chắn vì chỉ biết AH ⊥ SC, chưa đủ để kết luận AH ⊥ (SCD). B. BD ⊥ (SAC): - Ta biết rằng SA ⊥ đáy ABCD, do đó SA ⊥ BD. - Mặt khác, vì ABCD là hình chữ nhật, nên AC ⊥ BD. - Kết hợp hai điều trên, ta có BD ⊥ SA và BD ⊥ AC. Do đó, BD ⊥ (SAC). C. AK ⊥ (SCD): - Vì AK là hình chiếu của A lên SD, nên AK ⊥ SD. - Tuy nhiên, để AK ⊥ (SCD), AK phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SCD). Điều này không chắc chắn vì chỉ biết AK ⊥ SD, chưa đủ để kết luận AK ⊥ (SCD). D. BC ⊥ (SAC): - Ta biết rằng SA ⊥ đáy ABCD, do đó SA ⊥ BC. - Tuy nhiên, vì ABCD là hình chữ nhật, nên AC không vuông góc với BC. - Do đó, BC không thể vuông góc với cả SA và AC cùng lúc, nên BC không thể vuông góc với (SAC). Từ các lập luận trên, khẳng định đúng là: B. BD ⊥ (SAC). Đáp án: B. BD ⊥ (SAC). Câu 13. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Gọi M là hình chiếu của A trên SB, tức là AM vuông góc với SB. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. AM L SD. - Để AM vuông góc với SD, AM phải nằm trong mặt phẳng (SAD) và vuông góc với SD. Tuy nhiên, do AM vuông góc với SB và SB nằm trong mặt phẳng (SAB), nên AM không thể vuông góc với SD. Vậy khẳng định này sai. B. AM L (SCD). - Để AM vuông góc với mặt phẳng (SCD), AM phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SCD). Tuy nhiên, do AM vuông góc với SB và SB nằm trong mặt phẳng (SAB), nên AM không thể vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng (SCD). Vậy khẳng định này sai. C. AM LCD. - Để AM vuông góc với CD, AM phải nằm trong mặt phẳng (ACD) và vuông góc với CD. Tuy nhiên, do AM vuông góc với SB và SB nằm trong mặt phẳng (SAB), nên AM không thể vuông góc với CD. Vậy khẳng định này sai. D. AM L (SBC). - Để AM vuông góc với mặt phẳng (SBC), AM phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBC). Do AM vuông góc với SB và SB nằm trong mặt phẳng (SAB), nên AM cũng vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng (SBC). Vậy khẳng định này đúng. Vậy khẳng định đúng là: D. AM L (SBC). Đáp án: D. AM L (SBC). Câu 14. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. BAL (SAD): - Để BAL (SAD), tức là B phải nằm trên mặt phẳng (SAD). Tuy nhiên, B nằm trên đáy ABCD và không thuộc mặt phẳng (SAD) vì B không nằm trên đường thẳng AD. Do đó, mệnh đề này sai. B. BA L (SAC): - Để BA L (SAC), tức là A phải nằm trên mặt phẳng (SAC). Tuy nhiên, A nằm trên đáy ABCD và không thuộc mặt phẳng (SAC) vì A không nằm trên đường thẳng AC. Do đó, mệnh đề này sai. C. BAL (SBC): - Để BAL (SBC), tức là B phải nằm trên mặt phẳng (SBC). Tuy nhiên, B nằm trên đáy ABCD và không thuộc mặt phẳng (SBC) vì B không nằm trên đường thẳng BC. Do đó, mệnh đề này sai. D. BAL (SCD): - Để BAL (SCD), tức là B phải nằm trên mặt phẳng (SCD). Tuy nhiên, B nằm trên đáy ABCD và không thuộc mặt phẳng (SCD) vì B không nằm trên đường thẳng CD. Do đó, mệnh đề này sai. Như vậy, tất cả các mệnh đề đều sai. Tuy nhiên, nếu chúng ta xét kỹ lại, ta thấy rằng B nằm trên đáy ABCD và không thuộc bất kỳ mặt phẳng nào của các mặt bên của chóp S.ABCD. Do đó, không có mệnh đề nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: Không có mệnh đề nào đúng. Câu 15. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong tứ diện MNPQ, tam giác MNP là tam giác cân tại M và tam giác QNP là tam giác cân tại Q. Điều này có nghĩa là: - $$ - $$ Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng góc giữa hai đường thẳng MQ và NP bằng 90°. 1. Xét tam giác MNP: - Vì tam giác MNP là tam giác cân tại M, nên đường cao hạ từ đỉnh M xuống cạnh NP sẽ đồng thời là đường trung trực của NP. Gọi giao điểm của đường cao này với NP là O. Do đó, $$. 2. Xét tam giác QNP: - Vì tam giác QNP là tam giác cân tại Q, nên đường cao hạ từ đỉnh Q xuống cạnh NP cũng sẽ đồng thời là đường trung trực của NP. Gọi giao điểm của đường cao này với NP cũng là O. Do đó, $$. 3. Kết hợp hai kết quả trên: - Ta có $$ và $$. Điều này có nghĩa là cả hai đường thẳng MO và QO đều vuông góc với NP tại cùng một điểm O. 4. Xét hình chiếu của điểm M và Q lên đường thẳng NP: - Vì $$ và $$, nên cả hai đường thẳng MO và QO nằm trong mặt phẳng vuông góc với NP đi qua điểm O. 5. Xét góc giữa hai đường thẳng MQ và NP: - Vì cả hai đường thẳng MO và QO đều vuông góc với NP, nên góc giữa đường thẳng MQ và NP sẽ là góc giữa hai đường thẳng MO và QO trong mặt phẳng vuông góc với NP. 6. Kết luận: - Vì MO và QO đều vuông góc với NP và nằm trong cùng một mặt phẳng vuông góc với NP, nên góc giữa hai đường thẳng MQ và NP sẽ là 90°. Do đó, góc giữa hai đường thẳng MQ và NP bằng 90°. Đáp án đúng là D. 90°. Câu 16. Trước tiên, ta xét từng mệnh đề một để kiểm tra tính đúng sai của chúng. A. BC ⊥ (SAH): - Vì SA ⊥ (ABC), nên SA ⊥ BC. - Trực tâm H của tam giác SBC nằm trên đường cao hạ từ S và B xuống cạnh đối diện, do đó H nằm trên đường thẳng qua S và B. - Do đó, BC ⊥ SA và BC ⊥ AH (vì H là trực tâm của tam giác SBC), suy ra BC ⊥ (SAH). B. HK ⊥ (SBC): - Trực tâm K của tam giác ABC nằm trên đường cao hạ từ A và C xuống cạnh đối diện, do đó K nằm trên đường thẳng qua A và C. - Ta cần kiểm tra xem HK có vuông góc với (SBC) hay không. Vì H là trực tâm của tam giác SBC, nên HK sẽ không vuông góc với (SBC) trừ khi K cũng nằm trên đường thẳng này, điều này không đúng vì K là trực tâm của tam giác ABC. C. BC ⊥ (SAB): - Vì SA ⊥ (ABC), nên SA ⊥ BC. - Trực tâm H của tam giác SBC nằm trên đường cao hạ từ S và B xuống cạnh đối diện, do đó H nằm trên đường thẳng qua S và B. - Do đó, BC ⊥ SA và BC ⊥ AB (vì B và C nằm trên cùng một mặt phẳng ABC), suy ra BC ⊥ (SAB). D. SH, AK và BC đồng quy: - SH là đường thẳng đi qua S và H, AK là đường thẳng đi qua A và K, BC là đường thẳng đi qua B và C. - Vì H là trực tâm của tam giác SBC và K là trực tâm của tam giác ABC, nên SH, AK và BC sẽ đồng quy tại điểm O là trực tâm của cả hai tam giác SBC và ABC. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng mệnh đề B là sai vì HK không vuông góc với (SBC). Đáp án: B. HK ⊥ (SBC). Câu 17. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. A. BC ⊥ AD: - Để kiểm tra BC ⊥ AD, chúng ta cần biết vị trí của các điểm A, B, C, D trong không gian. Tuy nhiên, từ dữ liệu đã cho, chúng ta không thể kết luận rằng BC ⊥ AD vì không có thông tin về góc giữa hai đường thẳng này. B. AC ⊥ BD: - Để kiểm tra AC ⊥ BD, chúng ta cũng cần biết vị trí của các điểm A, B, C, D trong không gian. Tuy nhiên, từ dữ liệu đã cho, chúng ta không thể kết luận rằng AC ⊥ BD vì không có thông tin về góc giữa hai đường thẳng này. C. AB ⊥ (BCD): - Để kiểm tra AB ⊥ (BCD), chúng ta cần biết rằng AB vuông góc với cả BD và BC. Tuy nhiên, từ dữ liệu đã cho, chúng ta không thể kết luận rằng AB ⊥ BD và AB ⊥ BC vì không có thông tin về góc giữa các đường thẳng này. D. DC ⊥ (ABC): - Để kiểm tra DC ⊥ (ABC), chúng ta cần biết rằng DC vuông góc với cả AB và AC. Từ dữ liệu đã cho, chúng ta thấy rằng DB = DC = 3 và AB = AC = 2. Điều này gợi ý rằng điểm D có thể nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC. Do đó, DC có thể vuông góc với cả AB và AC. Từ các lập luận trên, chúng ta thấy rằng khẳng định D là khả thi nhất. Vì vậy, khẳng định đúng là: D. DC ⊥ (ABC). Câu 18. Trước tiên, ta xét các mệnh đề một cách chi tiết: A. CM ⊥ SB: - Vì đáy ABC là tam giác đều nên CM là đường cao hạ từ C xuống AB, do đó CM ⊥ AB. - Mặt khác, SA ⊥ đáy ABC, suy ra SA ⊥ AB và SA ⊥ AC. - Do đó, SB nằm trong mặt phẳng (SAB) và CM ⊥ AB, CM ⊥ SA (vì SA ⊥ đáy ABC). Vậy CM ⊥ SB. B. CM ⊥ AN: - Ta đã biết CM ⊥ AB và CM ⊥ SA. - Mặt khác, N là trung điểm của SB, do đó AN nằm trong mặt phẳng (SAB). - Vì CM ⊥ AB và CM ⊥ SA, suy ra CM ⊥ mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAB), bao gồm cả AN. - Vậy CM ⊥ AN. C. MN ⊥ MC: - Ta đã biết CM ⊥ AB và CM ⊥ SA. - Mặt khác, M là trung điểm của AB và N là trung điểm của SB, do đó MN là đường trung bình của tam giác SAB. - Vì CM ⊥ AB và CM ⊥ SA, suy ra CM ⊥ mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAB), bao gồm cả MN. - Vậy MN ⊥ MC. D. AN ⊥ BC: - Ta đã biết AN nằm trong mặt phẳng (SAB) và BC nằm trong mặt phẳng (ABC). - Vì SA ⊥ đáy ABC, suy ra SA ⊥ BC. - Mặt khác, AN nằm trong mặt phẳng (SAB) và không trực tiếp vuông góc với BC, trừ khi ta chứng minh được AN nằm trong mặt phẳng vuông góc với BC. - Do đó, AN không chắc chắn vuông góc với BC. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng mệnh đề D là mệnh đề sai vì AN không chắc chắn vuông góc với BC. Đáp án: D. AN ⊥ BC. Câu 19. Trước tiên, ta xét các mệnh đề một cách chi tiết: A. MN L AB. - Vì M là trung điểm của AB, nên MN sẽ vuông góc với AB. Mệnh đề này đúng. B. MN L BD. - Ta cần kiểm tra xem MN có vuông góc với BD hay không. Vì ABCD là tứ diện đều, các cạnh đều bằng nhau và các mặt đều là tam giác đều. Do đó, MN sẽ không vuông góc với BD. Mệnh đề này sai. C. MN L CD. - Vì N là trung điểm của CD, nên MN sẽ vuông góc với CD. Mệnh đề này đúng. D. AB LCD. - Vì ABCD là tứ diện đều, các cạnh đều bằng nhau và các mặt đều là tam giác đều. Do đó, AB sẽ vuông góc với CD. Mệnh đề này đúng. Vậy mệnh đề sai là: B. MN L BD. Đáp án: B. MN L BD. Câu 20. 1. O1 L (ABCD): Sai vì O1 là trung điểm của SC, không thể thẳng đứng lên từ tâm O của đáy ABCD. 2. BD L SC: Đúng vì trong hình vuông ABCD, đường chéo BD vuông góc với đường chéo AC. Mặt khác, SA L (ABCD) nên SA L BD. Do đó, BD nằm trong mặt phẳng (SAC) và vuông góc với cả SA và AC, suy ra BD L SC. 3. (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD: Đúng vì BD nằm trong mặt phẳng (SAC) và vuông góc với cả SA và AC, suy ra BD L SC. Mặt khác, O là trung điểm của BD và nằm trong mặt phẳng (SAC), do đó (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD. 4. SB = SC = SD: Sai vì SB và SD không phải là các cạnh của cùng một tam giác đều, do đó chúng không bằng nhau. Vậy trong bốn khẳng định trên, số khẳng định sai là 2. Câu 21. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với cạnh a và SA vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Ta cần tìm tỉ số $$ khi AM vuông góc với MD. 1. Xác định vị trí của các điểm: - Đáy ABCD là nửa lục giác đều, do đó các cạnh AB, BC, CD, DA đều bằng a. - SA vuông góc với đáy và SA = a√3. - M là một điểm trên SB sao cho AM vuông góc với MD. 2. Tìm tọa độ của các điểm: - Gọi O là tâm của nửa lục giác đều ABCD. Ta có thể coi O là gốc tọa độ (0, 0, 0). - A có tọa độ (a, 0, 0). - B có tọa độ ($$, $$, 0). - D có tọa độ (-$$, $$, 0). - S có tọa độ (0, 0, a√3). 3. Tìm tọa độ của M: - M nằm trên SB, nên tọa độ của M có thể viết dưới dạng (x, y, z) = (t \cdot $$, t \cdot $$, t \cdot a√3) với 0 < t < 1. 4. Điều kiện AM vuông góc với MD: - Vector AM = (t \cdot $$ - a, t \cdot $$, t \cdot a√3). - Vector MD = (-$$ - t \cdot $$, $$ - t \cdot $$, -t \cdot a√3). - Điều kiện AM vuông góc với MD là AM · MD = 0. 5. Tính tích vô hướng AM · MD: $$ $$ $$ 6. Giải phương trình để tìm t: Sau khi giải phương trình, ta tìm được t = $$. 7. Tỉ số $$: $$ Vậy tỉ số $$ là $$. Câu 22. Để xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P) qua điểm M trên cạnh AB và song song với SA và AD, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đường thẳng song song: - Mặt phẳng (P) song song với SA và AD. - Vì (P) song song với SA, nên (P) sẽ cắt SC tại một điểm N nào đó. - Vì (P) song song với AD, nên (P) sẽ cắt SD tại một điểm P nào đó. 2. Xác định các giao tuyến: - Mặt phẳng (P) cắt SC tại N và SD tại P. - Mặt phẳng (P) cũng cắt AB tại M (vì M nằm trên AB). 3. Xác định thiết diện: - Thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P) sẽ là tứ giác MNPQ, trong đó Q là giao điểm của (P) với CD. - Vì (P) song song với AD, nên MN sẽ song song với AD. - Vì (P) song song với SA, nên MQ sẽ song song với SA. 4. Xác định hình dạng của thiết diện: - Tứ giác MNPQ có MN song song với AD và MQ song song với SA. - Vì đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, nên góc giữa AD và AB là 90°. - Mặt phẳng (P) song song với SA và AD, nên góc giữa MN và MQ cũng là 90°. Do đó, thiết diện MNPQ là một hình chữ nhật. Đáp án: D. Hình chữ nhật. Câu 23. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và AA' = 3a. Mặt phẳng qua A vuông góc với A'C cắt các cạnh BB', CC', DD' lần lượt tại I, J, K. Ta sẽ chứng minh rằng thiết diện AIJK là hình vuông. 1. Chứng minh AIJK là hình vuông: - Vì mặt phẳng qua A vuông góc với A'C nên AI, AJ, AK đều vuông góc với A'C. - Ta có A'C vuông góc với mặt phẳng (ABCD), do đó A'C vuông góc với AB, AC. - Mặt phẳng qua A vuông góc với A'C cắt các cạnh BB', CC', DD' tại I, J, K, tức là AI, AJ, AK đều vuông góc với A'C. - Do đó, AI = AJ = AK (vì chúng đều là khoảng cách từ A đến A'C). 2. Tính diện tích thiết diện AIJK: - Vì AIJK là hình vuông và AI = AJ = AK, ta cần tính độ dài AI. - Ta có A'C = $$. - Vì AI vuông góc với A'C và AI nằm trong mặt phẳng qua A vuông góc với A'C, ta có AI = $$. - Diện tích thiết diện AIJK là $$. Vậy diện tích thiết diện AIJK là $$. Câu 24. Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan: - G là trọng tâm của tam giác đều ABC, do đó G nằm trên đường cao từ đỉnh S hạ xuống đáy ABC. - Mặt phẳng (a) đi qua G và vuông góc với SC, do đó nó sẽ cắt các mặt bên của chóp S.ABC theo các đường thẳng song song với các cạnh đáy. Ta xét thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mặt phẳng (a). Thiết diện này sẽ là một tam giác đều, vì: - Mặt phẳng (a) vuông góc với SC, do đó nó sẽ cắt các mặt bên của chóp S.ABC theo các đường thẳng song song với các cạnh đáy. - Các mặt bên là các tam giác vuông cân tại S, do đó các đường thẳng này sẽ tạo thành các tam giác đều. Bây giờ, ta tính diện tích của thiết diện này: - Trọng tâm G chia mỗi đường cao của tam giác đều ABC thành tỉ lệ 2:1, tức là đoạn thẳng từ G đến mỗi đỉnh của đáy ABC sẽ bằng $$ đường cao của tam giác đều ABC. - Vì thiết diện là tam giác đều và các đường thẳng cắt các mặt bên theo các đường thẳng song song với các cạnh đáy, nên cạnh của thiết diện sẽ bằng $$ cạnh của đáy ABC. Diện tích của tam giác đều ABC là: $$ Diện tích của thiết diện là: $$ Tuy nhiên, vì thiết diện là tam giác đều và diện tích của tam giác đều có công thức $$, nên diện tích của thiết diện sẽ là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$