Câu 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f' * (x) = 6x ^ 2 - 2 Vx ∈ R và f(0) = 1 Biết F(x)l hat a sin hat phi*t nguyên hàm của f(x) và F(2) = 0 Tính F(4)

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm hàm số $ f(x) $ từ đạo hàm $ f'(x) $.
2. Xác định hằng số trong hàm số $ f(x) $ bằng điều kiện ban đầu $ f(0) = 1 $.
3. Tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) $.
4. Xác định hằng số trong nguyên hàm $ F(x) $ bằng điều kiện $ F(2) = 0 $.
5. Tính giá trị của $ F(4) $.

Bước 1: Tìm hàm số $ f(x) $ từ đạo hàm $ f'(x) $.

Ta có:
$$ f'(x) = 6x^2 - 2 $$

Tích phân hai vế để tìm $ f(x) $:
$$ f(x) = \int (6x^2 - 2) \, dx $$
$$ f(x) = 6 \int x^2 \, dx - 2 \int 1 \, dx $$
$$ f(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 2x + C $$
$$ f(x) = 2x^3 - 2x + C $$

Bước 2: Xác định hằng số $ C $ bằng điều kiện ban đầu $ f(0) = 1 $.

Thay $ x = 0 $ vào $ f(x) $:
$$ f(0) = 2(0)^3 - 2(0) + C = 1 $$
$$ C = 1 $$

Vậy hàm số $ f(x) $ là:
$$ f(x) = 2x^3 - 2x + 1 $$

Bước 3: Tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) $.

Ta có:
$$ F(x) = \int f(x) \, dx $$
$$ F(x) = \int (2x^3 - 2x + 1) \, dx $$
$$ F(x) = 2 \int x^3 \, dx - 2 \int x \, dx + \int 1 \, dx $$
$$ F(x) = 2 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + D $$
$$ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2 + x + D $$

Bước 4: Xác định hằng số $ D $ bằng điều kiện $ F(2) = 0 $.

Thay $ x = 2 $ vào $ F(x) $:
$$ F(2) = \frac{1}{2}(2)^4 - (2)^2 + 2 + D = 0 $$
$$ F(2) = \frac{1}{2} \cdot 16 - 4 + 2 + D = 0 $$
$$ 8 - 4 + 2 + D = 0 $$
$$ 6 + D = 0 $$
$$ D = -6 $$

Vậy nguyên hàm $ F(x) $ là:
$$ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2 + x - 6 $$

Bước 5: Tính giá trị của $ F(4) $.

Thay $ x = 4 $ vào $ F(x) $:
$$ F(4) = \frac{1}{2}(4)^4 - (4)^2 + 4 - 6 $$
$$ F(4) = \frac{1}{2} \cdot 256 - 16 + 4 - 6 $$
$$ F(4) = 128 - 16 + 4 - 6 $$
$$ F(4) = 110 $$

Vậy giá trị của $ F(4) $ là:
$$ \boxed{110} $$