Giải chi tiết 2 ĐK VA THAY ĐOI KGM,Câu 1: Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi trắng và 20,viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác,suất để lấy được một viên bi trắng ở lần thứ nhất và một viên bi xanh ở lần thứ hai.,Câu 2: Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai,có 9 phiếu. Bạn Bình đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Thầy giáo,rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho ban Bình rút ngẫu,nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ hai. Tính xác suất để bạn Bình trả lời được câu hỏi trong phiếu?,(kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy),Câu 3: Giả sử bạn đang xét một căn bệnh hiếm gặp. Tỷ lệ mắc bệnh trong dân số là 0.5%. Có một xét,nghiệm cho căn bệnh này, và xét nghiệm này có các đặc tính sau:,Nếu người bệnh mắc bệnh, thì xét nghiệm dương tính với xác suất 98%.,Nếu người bệnh không mắc bệnh, thì xét nghiệm âm tính với xác suất 95%.,Một bác sĩ thực hiện xét nghiệm cho một người có kết quả xét nghiệm là dương tính?. Tính xác,suất người đó mắc bệnh (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy).,3 ĐIỀU KIỆN,Câu 4: Số khán giả đến xem buổi biểu diễn âm nhạc ngoài trời phụ thuộc vào thời tiết. Giả sử, nếu trời,không mưa thì xác suất để bán hết vé là 0,85; còn nếu trời mưa thì xác suất để bán hết vé là,0,45. Dự báo thời tiết cho thấy nếu xác suất để trời mưa vào buổi biểu diễn là 0,6. Tính xác suất,để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé.,Câu 5: Một công ty du lịch bố trí chỗ nghỉ cho đoàn khách tại ba khách sạn A,B,C theo tỉ lệ 20 %,,50 %, 30 %. Tỉ lệ hỏng điều hòa ở ba khách sạn lần lượt là 5 %, 4 %, 8 %. Tính xác suất để,một khách ở khách sạn C , biết khách đó ở phòng điều hòa không bị hỏng (kết quả để dưới,dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 6: Một nhà đầu tư phân loại các dự án trong một chu kỳ đầu tư thành 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung,bình và rủi ro cao. Tỷ lệ các dự án các loại đó tương ứng là 20%; 45% và 35% . Kinh nghiệm,cho thấy tỷ lệ các dự án gặp rủi ro khi đầu tư tương ứng là 5%; 20% và 40%. Nếu một dự án,gặp rủi ro sau kỳ đầu tư thì khả năng dự án rủi ro lớn nhất là bao nhiêu?,Câu 7: Có hai hộp chứa bi, hộp thứ nhất chứa 2 bi trắng và 8 bi đen, hộp thứ hai chứa 9 bi trắng và 1,bi đen. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên,ba viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất để trong ba viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có 2 viên bi,trắng (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm),ĐẶT ẨN,Câu 8: Một lớp có 16 học sinh nữ, còn lại là học sinh nam. Trong giờ giáo dục thể chất thầy giáo khảo,sát kết quả rèn luyện thể lực của học sinh bằng cách bốc thăm trong danh sách lớp để chọn hai,bạn chạy tiếp sức. Biết xác suất để chọn được hai bạn tham gia khảo sát đều là nữ bằng $\frac{15}{62}.$,Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh?,Câu 9: Tỉ lệ người nghiện thuốc lá ở một vùng là 30%. Biết tỉ lệ viêm họng trong số người nghiện,Câu 9:,thuốc lá là a% còn người không nghiện là 40% . Gặp ngẫu nhiên một người trong vùng thì xác,suất để người đó nghiện thuốc và bị viêm họng bằng 0,21; xác suất để người đó không nghiện,thuốc và bị viêm họng là b% . Tính a + b .,Câu 10: Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu cam,,còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại,lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai viên,kẹo màu cam là $\frac12.$ Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu viên kẹo?

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Số cách chọn 1 viên bi từ 50 viên bi là $ C_{50}^{1} = 50 $.

Số cách chọn 1 viên bi trắng từ 30 viên bi trắng là $ C_{30}^{1} = 30 $.

Sau khi đã chọn 1 viên bi trắng, số cách chọn 1 viên bi xanh từ 20 viên bi xanh còn lại là $ C_{20}^{1} = 20 $.

Số cách chọn 1 viên bi trắng ở lần thứ nhất và 1 viên bi xanh ở lần thứ hai là $ 30 \times 20 = 600 $.

Xác suất để lấy được 1 viên bi trắng ở lần thứ nhất và 1 viên bi xanh ở lần thứ hai là:

$$ P = \frac{600}{50 \times 49} = \frac{600}{2450} = \frac{60}{245} = \frac{12}{49} $$

Đáp số: $ \frac{12}{49} $

Câu 2:
Xác suất để thầy giáo rút ra 1 phiếu thuộc trong hộp thứ nhất là $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Xác suất để thầy giáo rút ra 1 phiếu không thuộc trong hộp thứ nhất là $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

Nếu thầy giáo rút ra 1 phiếu thuộc trong hộp thứ nhất thì xác suất để bạn Bình trả lời được câu hỏi trong phiếu là $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Nếu thầy giáo rút ra 1 phiếu không thuộc trong hộp thứ nhất thì xác suất để bạn Bình trả lời được câu hỏi trong phiếu là $\frac{9}{10}$

Vậy xác suất để bạn Bình trả lời được câu hỏi trong phiếu là:

$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{5}{6} \approx 0,83$

Câu 3:
Để tính xác suất người đó mắc bệnh khi kết quả xét nghiệm là dương tính, ta sẽ sử dụng định lý Bayes.

Gọi A là sự kiện "người đó mắc bệnh" và B là sự kiện "xét nghiệm dương tính".

Theo đề bài:
- Xác suất mắc bệnh trong dân số là P(A) = 0.005.
- Xác suất xét nghiệm dương tính khi mắc bệnh là P(B|A) = 0.98.
- Xác suất xét nghiệm âm tính khi không mắc bệnh là P(B'|A') = 0.95, do đó xác suất xét nghiệm dương tính khi không mắc bệnh là P(B|A') = 1 - 0.95 = 0.05.

Ta cần tính P(A|B), xác suất người đó mắc bệnh khi kết quả xét nghiệm là dương tính.

Theo định lý Bayes:

$$ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} $$

Trong đó, P(B) là xác suất xét nghiệm dương tính, có thể tính bằng công thức toàn xác suất:

$$ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|A') \cdot P(A') $$

Với P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.005 = 0.995.

Thay các giá trị vào:

$$ P(B) = 0.98 \cdot 0.005 + 0.05 \cdot 0.995 $$
$$ P(B) = 0.0049 + 0.04975 $$
$$ P(B) = 0.05465 $$

Bây giờ, thay vào định lý Bayes:

$$ P(A|B) = \frac{0.98 \cdot 0.005}{0.05465} $$
$$ P(A|B) = \frac{0.0049}{0.05465} $$
$$ P(A|B) \approx 0.0897 $$

Vậy xác suất người đó mắc bệnh khi kết quả xét nghiệm là dương tính là khoảng 0.0897, tức là 8.97%.

Đáp số: 8.97%.

Câu 4:
Để tính xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé, ta sẽ sử dụng quy tắc xác suất tổng hợp.

Bước 1: Xác định các trường hợp có thể xảy ra.
- Trường hợp 1: Trời không mưa và bán hết vé.
- Trường hợp 2: Trời mưa và bán hết vé.

Bước 2: Xác định xác suất của mỗi trường hợp.
- Xác suất trời không mưa là $ P(\text{Không mưa}) = 1 - P(\text{Mưa}) = 1 - 0,6 = 0,4 $.
- Xác suất bán hết vé khi trời không mưa là $ P(\text{Bán hết vé} | \text{Không mưa}) = 0,85 $.
- Xác suất bán hết vé khi trời mưa là $ P(\text{Bán hết vé} | \text{Mưa}) = 0,45 $.

Bước 3: Áp dụng quy tắc xác suất tổng hợp.
Xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé là:
$$ P(\text{Bán hết vé}) = P(\text{Bán hết vé} | \text{Không mưa}) \times P(\text{Không mưa}) + P(\text{Bán hết vé} | \text{Mưa}) \times P(\text{Mưa}) $$

Thay các giá trị đã biết vào công thức:
$$ P(\text{Bán hết vé}) = 0,85 \times 0,4 + 0,45 \times 0,6 $$
$$ P(\text{Bán hết vé}) = 0,34 + 0,27 $$
$$ P(\text{Bán hết vé}) = 0,61 $$

Vậy xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé là 0,61.

Câu 5:
Gọi $ D $ là biến cố "chọn ngẫu nhiên một phòng thì phòng đó có điều hòa hỏng", $ \overline{D} $ là biến cố "chọn ngẫu nhiên một phòng thì phòng đó có điều hòa không hỏng".

Gọi $ C $ là biến cố "chọn ngẫu nhiên một phòng thì phòng đó thuộc khách sạn C".

Xác suất để chọn ngẫu nhiên một phòng thì phòng đó thuộc khách sạn C là:

$ P(C) = 0,3 $

Xác suất để chọn ngẫu nhiên một phòng thì phòng đó có điều hòa hỏng là:

$ P(D) = 0,2 \times 0,05 + 0,5 \times 0,04 + 0,3 \times 0,08 = 0,05 $

Xác suất để chọn ngẫu nhiên một phòng thì phòng đó có điều hòa hỏng và thuộc khách sạn C là:

$ P(C \cap D) = 0,3 \times 0,08 = 0,024 $

Xác suất để chọn ngẫu nhiên một phòng thì phòng đó có điều hòa không hỏng là:

$ P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,05 = 0,95 $

Xác suất để chọn ngẫu nhiên một phòng thì phòng đó có điều hòa không hỏng và thuộc khách sạn C là:

$ P(C \cap \overline{D}) = P(C) - P(C \cap D) = 0,3 - 0,024 = 0,276 $

Xác suất để một khách ở khách sạn C, biết khách đó ở phòng điều hòa không bị hỏng là:

$ P(C | \overline{D}) = \frac{P(C \cap \overline{D})}{P(\overline{D})} = \frac{0,276}{0,95} \approx 0,29 $

Đáp số: 0,29

Câu 6:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc xác suất tổng hợp và quy tắc xác suất điều kiện.

Bước 1: Xác định các biến và xác suất ban đầu

- Gọi A là sự kiện "dự án ít rủi ro"
- Gọi B là sự kiện "dự án rủi ro trung bình"
- Gọi C là sự kiện "dự án rủi ro cao"
- Gọi D là sự kiện "dự án gặp rủi ro"

Xác suất ban đầu:
- P(A) = 0,20
- P(B) = 0,45
- P(C) = 0,35

Xác suất gặp rủi ro:
- P(D|A) = 0,05
- P(D|B) = 0,20
- P(D|C) = 0,40

Bước 2: Áp dụng quy tắc xác suất tổng hợp để tính xác suất tổng thể của sự kiện D

P(D) = P(A)  P(D|A) + P(B)  P(D|B) + P(C)  P(D|C)
     = 0,20  0,05 + 0,45  0,20 + 0,35  0,40
     = 0,01 + 0,09 + 0,14
     = 0,24

Bước 3: Áp dụng quy tắc xác suất điều kiện để tính xác suất dự án rủi ro lớn nhất khi biết rằng dự án đã gặp rủi ro

P(C|D) = P(C)  P(D|C) / P(D)
       = 0,35  0,40 / 0,24
       = 0,14 / 0,24
       = 0,5833

Vậy nếu một dự án gặp rủi ro sau kỳ đầu tư thì khả năng dự án rủi ro lớn nhất là khoảng 58,33%.

Câu 7:
Để tính xác suất để trong ba viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có 2 viên bi trắng, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các trường hợp có thể xảy ra khi lấy 2 viên bi từ hộp thứ nhất

Hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 8 bi đen. Chúng ta có các trường hợp sau khi lấy 2 viên bi từ hộp thứ nhất:
- Cả 2 viên đều là bi trắng.
- Một viên trắng và một viên đen.
- Cả 2 viên đều là bi đen.

Ta tính xác suất của mỗi trường hợp này.

Trường hợp 1: Cả 2 viên đều là bi trắng
Số cách chọn 2 viên bi trắng từ 2 viên bi trắng là:
$$ \binom{2}{2} = 1 $$

Số cách chọn 2 viên bi từ 10 viên bi là:
$$ \binom{10}{2} = 45 $$

Xác suất của trường hợp này là:
$$ P_1 = \frac{1}{45} $$

Trường hợp 2: Một viên trắng và một viên đen
Số cách chọn 1 viên bi trắng từ 2 viên bi trắng và 1 viên bi đen từ 8 viên bi đen là:
$$ \binom{2}{1} \times \binom{8}{1} = 2 \times 8 = 16 $$

Xác suất của trường hợp này là:
$$ P_2 = \frac{16}{45} $$

Trường hợp 3: Cả 2 viên đều là bi đen
Số cách chọn 2 viên bi đen từ 8 viên bi đen là:
$$ \binom{8}{2} = 28 $$

Xác suất của trường hợp này là:
$$ P_3 = \frac{28}{45} $$

Bước 2: Xác định các trường hợp có thể xảy ra khi lấy 3 viên bi từ hộp thứ hai

Trường hợp 1: Cả 2 viên đều là bi trắng
Hộp thứ hai lúc này có 11 bi trắng và 1 bi đen. Số cách chọn 3 viên bi từ 12 viên bi là:
$$ \binom{12}{3} = 220 $$

Số cách chọn 2 viên bi trắng từ 11 viên bi trắng và 1 viên bi đen từ 1 viên bi đen là:
$$ \binom{11}{2} \times \binom{1}{1} = 55 \times 1 = 55 $$

Xác suất của trường hợp này là:
$$ P_{11} = \frac{55}{220} = \frac{1}{4} $$

Trường hợp 2: Một viên trắng và một viên đen
Hộp thứ hai lúc này có 10 bi trắng và 2 bi đen. Số cách chọn 3 viên bi từ 12 viên bi là:
$$ \binom{12}{3} = 220 $$

Số cách chọn 2 viên bi trắng từ 10 viên bi trắng và 1 viên bi đen từ 2 viên bi đen là:
$$ \binom{10}{2} \times \binom{2}{1} = 45 \times 2 = 90 $$

Xác suất của trường hợp này là:
$$ P_{21} = \frac{90}{220} = \frac{9}{22} $$

Trường hợp 3: Cả 2 viên đều là bi đen
Hộp thứ hai lúc này có 9 bi trắng và 3 bi đen. Số cách chọn 3 viên bi từ 12 viên bi là:
$$ \binom{12}{3} = 220 $$

Số cách chọn 2 viên bi trắng từ 9 viên bi trắng và 1 viên bi đen từ 3 viên bi đen là:
$$ \binom{9}{2} \times \binom{3}{1} = 36 \times 3 = 108 $$

Xác suất của trường hợp này là:
$$ P_{31} = \frac{108}{220} = \frac{27}{55} $$

Bước 3: Tính tổng xác suất

Tổng xác suất để trong ba viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có 2 viên bi trắng là:
$$ P = P_1 \times P_{11} + P_2 \times P_{21} + P_3 \times P_{31} $$
$$ P = \left( \frac{1}{45} \times \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{16}{45} \times \frac{9}{22} \right) + \left( \frac{28}{45} \times \frac{27}{55} \right) $$
$$ P = \frac{1}{180} + \frac{144}{990} + \frac{756}{2475} $$
$$ P = \frac{1}{180} + \frac{24}{165} + \frac{84}{275} $$
$$ P = \frac{1}{180} + \frac{24}{165} + \frac{84}{275} \approx 0.44 $$

Vậy xác suất để trong ba viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có 2 viên bi trắng là khoảng 0.44 hoặc 44%.

Câu 8:
Gọi số học sinh nam là $x$ (học sinh)
Số học sinh cả lớp là $16 + x$ (học sinh)
Số cách chọn 2 học sinh nữ trong lớp là ${C}_{16}^{2}$
Số cách chọn 2 học sinh trong lớp là ${C}_{16+x}^{2}$
Xác suất để chọn được hai bạn tham gia khảo sát đều là nữ là $\frac{{C}_{16}^{2}}{{C}_{16+x}^{2}}$
Theo đề bài ta có:
$\frac{{C}_{16}^{2}}{{C}_{16+x}^{2}} = \frac{15}{62}$
$\frac{\frac{16 \times 15}{2}}{\frac{(16+x)(15+x)}{2}} = \frac{15}{62}$
$\frac{16 \times 15}{(16+x)(15+x)} = \frac{15}{62}$
$\frac{16}{16+x} = \frac{15}{62}$
$16 \times 62 = 15 \times (16 + x)$
$992 = 240 + 15x$
$15x = 992 - 240$
$15x = 752$
$x = 752 : 15$
$x = 50$
Số học sinh cả lớp là:
$16 + 50 = 66$ (học sinh)
Đáp số: 66 học sinh

Câu 9:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về tỉ lệ viêm họng trong số người nghiện thuốc lá. Tuy nhiên, giả sử rằng tỉ lệ viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là $ p \% $.

Bước 1: Xác định số người nghiện thuốc lá trong vùng.
Giả sử tổng số người trong vùng là $ N $. Số người nghiện thuốc lá sẽ là:
$$ 0.30 \times N $$

Bước 2: Xác định số người nghiện thuốc lá bị viêm họng.
Số người nghiện thuốc lá bị viêm họng sẽ là:
$$ p \% \times (0.30 \times N) = \frac{p}{100} \times 0.30 \times N = 0.003p \times N $$

Bước 3: Kết luận.
Số người nghiện thuốc lá bị viêm họng là $ 0.003p \times N $.

Để có kết quả cụ thể, chúng ta cần biết giá trị của $ p $ (tỉ lệ viêm họng trong số người nghiện thuốc lá) và $ N $ (tổng số người trong vùng).

Ví dụ, nếu tỉ lệ viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là 20% ($ p = 20 $) và tổng số người trong vùng là 1000 ($ N = 1000 $), thì số người nghiện thuốc lá bị viêm họng sẽ là:
$$ 0.003 \times 20 \times 1000 = 60 \text{ người} $$

Do đó, số người nghiện thuốc lá bị viêm họng là 60 người.

Đáp số: 60 người (với $ p = 20 \% $ và $ N = 1000 $).

Câu 9:
Gọi A là biến cố "ngẫu nhiên chọn được người nghiện thuốc lá", B là biến cố "ngẫu nhiên chọn được người bị viêm họng". 
Ta có P(A) = $\frac{a}{100}$, P($\overline{A}$) = $\frac{40}{100}$, P(A ∩ B) = 0,21, P($\overline{A}$ ∩ B) = $\frac{b}{100}$. 
Xác suất để người đó bị viêm họng là: P(B) = P(A ∩ B) + P($\overline{A}$ ∩ B) = 0,21 + $\frac{b}{100}$. 
Xác suất để người đó nghiện thuốc lá và bị viêm họng là: P(A ∩ B) = P(A).P(B|A) = $\frac{a}{100}$.P(B|A) = 0,21. 
Suy ra P(B|A) = $\frac{21}{a}$. 
Xác suất để người đó không nghiện thuốc lá và bị viêm họng là: P($\overline{A}$ ∩ B) = P($\overline{A}$).P(B|$\overline{A}$) = $\frac{40}{100}$.P(B|$\overline{A}$) = $\frac{b}{100}$. 
Suy ra P(B|$\overline{A}$) = $\frac{b}{40}$. 
Mặt khác ta có: P(B) = P(A).P(B|A) + P($\overline{A}$).P(B|$\overline{A}$) 
suy ra 0,21 + $\frac{b}{100}$ = $\frac{a}{100}$.$\frac{21}{a}$ + $\frac{40}{100}$.$\frac{b}{40}$. 
Giải ra ta được b = 49. 
Thay vào (1) ta được a = 70. 
Vậy a + b = 70 + 49 = 119.

Câu 10:
Gọi số viên kẹo màu vàng là $x$ (viên kẹo)
Số viên kẹo trong túi là $6 + x$ (viên kẹo)
Xác suất để lần đầu Hà lấy được kẹo màu cam là $\frac{6}{6 + x}$
Sau lần đầu Hà lấy đi 1 viên kẹo màu cam, số viên kẹo còn lại trong túi là $6 + x - 1 = 5 + x$ (viên kẹo)
Sau lần đầu Hà lấy đi 1 viên kẹo màu cam, số viên kẹo màu cam còn lại trong túi là $6 - 1 = 5$ (viên kẹo)
Xác suất để lần thứ hai Hà lấy được kẹo màu cam là $\frac{5}{5 + x}$
Xác suất để Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là:
$\frac{6}{6 + x} \times \frac{5}{5 + x} = \frac{1}{2}$
$\frac{30}{(6 + x)(5 + x)} = \frac{1}{2}$
$(6 + x)(5 + x) = 60$
$x^2 + 11x + 30 = 60$
$x^2 + 11x - 30 = 0$
$(x - 2)(x + 15) = 0$
$x = 2$ hoặc $x = -15$ (loại)
Vậy ban đầu trong túi có số viên kẹo là:
$6 + 2 = 8$ (viên kẹo)
Đáp số: 8 viên kẹo